Le casse-noix de la tête grecque
Peut-on inscrire un entier dans chacune des 60 cases non encore remplies de l'échiquier 8x8 ci-contre tel que la somme totale des 64 nombres est positive et la somme des 5 nombres contenus dans une croix grecque placée à un endroit quelconque de l'échiquier et recouvrant cinq cases est négative ?
Pour les plus courageux : généralisation avec un échiquier de dimension n x n , n entier quelconque > 8 , dans lequel les entiers 1,0,0 et 0 sont respectivement placés aux quatre coins.
1 2 3 5 6 7 9 0
2 -1 -2 -3 -4 -5 -6
3 -2 -1 -1
5 -3 -1 -1
6 -4 -1
7 -5 -1 -1
9 -6 -1 -1
0 0
En généralisant, sur un damier n.n :
• Les premières ligne et colonne sont remplies par une suite de n-1 nombres, qui sont les nombres entiers à l’exclusion des multiples de 4.
• On complète les deuxièmes ligne et colonnes par le suite décroissante des entiers négatifs à partir de -1, jusqu’à –(n-2).
• On remplit toutes les diagonales dont les coordonnées de la case d’origine sont des multiples de 3, par -1, de la ligne (colonne) 3 à la colonne (ligne) n-1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 1 2 3 5 6 7 9 10 11 13 14 15 17 18 19 21 22 23 25 0 2 2 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -14 -15 -16 -17 -18
3 3 -2 -1 -1 -1 -1 -1 -1
4 5 -3 -1 -1 -1 -1 -1 -1
5 6 -4 -1 -1 -1 -1 -1
6 7 -5 -1 -1 -1 -1 -1 -1
7 9 -6 -1 -1 -1 -1 -1 -1
8 10 -7 -1 -1 -1 -1 -1
9 11 -8 -1 -1 -1 -1 -1 -1
10 13 -9 -1 -1 -1 -1 -1 -1
11 14 -10 -1 -1 -1 -1 -1
12 15 -11 -1 -1 -1 -1 -1 -1
13 17 -12 -1 -1 -1 -1 -1 -1
14 18 -13 -1 -1 -1 -1 -1
15 19 -14 -1 -1 -1 -1 -1 -1
16 21 -15 -1 -1 -1 -1 -1 -1
17 22 -16 -1 -1 -1 -1 -1
18 23 -17 -1 -1 -1 -1 -1 -1
19 25 -18 -1 -1 -1 -1 -1 -1
20 0 0
On peut démontrer cela par récurrence, puisque la somme des nombres ajoutés au damier pour passer de n-1 à n vaut :
2. ቀ݊ + ܧ൫݊ 3ൗ ൯ቁ − ൫2ܧ൫݊ 3ൗ ൯ − 1൯ − 2ሺ݊ − 2ሻ = 3 et que la somme des nombres dans une croix placée en bas ou à droite vaut -1 ou -2. Mais c’est fastidieux.
