A523 - En quatrième vitesse.. [** à ***** à la main]
Q₁- Passage en première...
Zig, Puce et Alfred (le pingouin) détiennent chacun un entier relatif. La somme des trois nombres est nulle. Démontrer que le double de la somme de leurs puissances quatrièmes est un carré parfait Q₂ - Passage en seconde...
Zig dit à Puce: “la somme des puissances quatrièmes des entiers qui vont de 1 à l’âge de mon grand’père rapportée à la somme des carrés de ces mêmes entiers est égale au carré de l’âge de ma grand’mère”. Déterminer les âges des grands-parents de Zig.
Q₃ - Passage en troisième...
Zig établit la suite des nombres égaux à la puissance quatrième des k premiers entiers pairs successifs
> 0 auxquels il ajoute chaque fois un quart puis il calcule le produit N des nombres ainsi obtenus. De la même manière, Puce établit la suite des nombres égaux à la puissance quatrième des k premiers entiers impairs auxquels il ajoute chaque fois un quart et on obtient le produit D des nombres obtenus. Alfred calcule pour tout k le rapport N/D. Démontrer que ce rapport est toujours un entier et calculer n quand ce rapport est un carré parfait pour la quatrième fois.
Q₄- Passage en quatrième...
Alfred pose à deux amis les deux questions suivantes:
- à Puce : combien faut-il au minimum d’entiers pour exprimer l’entier 79 comme somme des puissances quatrièmes de ces entiers?
- à Zig : on écrit tout entier positif sous la forme de la somme des puissances quatrièmes de k entiers, k étant le plus petit possible. Démontrer que :
a) k ≤53 (****) b) k ≤ 21 (*****) c) k ≤ 19 (******)
Solution proposée par Jean-Marie Breton Q1
(a + b + c)4 = a4 + b4 +c4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 4a3c + 12a2bc + 12ab2c + 4b3c + 6a2c2 + 12abc2 + 6b2c2
+ 4ac3 + 4bc3
Si a + b + c = 0 alors c= -(a + b) soit :
2(a4 + b4 +c4) = -8a3b - 12a2b2 - 8ab3 + 8a3 (a + b) + 24a2b (a + b) + 24ab2 (a + b) + 8b3 (a + b) -
12a2(a + b)2 - 24ab(a + b)2 - 12b2(a + b)2 + 8a(a + b)3 + 8b(a + b)3
= -8a3b - 12a2b2 - 8ab3 + 8a4 + 8a3b + 24a3b + 24a2b2 + 24a2b2 + 24ab3 + 8ab3 + 8b4 - 12a4 - 24a3b - 12a2b2 - 24a3b - 48a2b2 - 24ab3 - 12a2b2 - 24ab3 - 12b4 +
8a4 + 24a3b + 24a2b2 + 8ab3 + 8a3b + 24a2b2 + 24ab3 + 8b4
= 8a3b + 12a2b2 + 8ab3 + 4a4 + 4b4
= (2a2 + 2b2 + 2ab)2 Q2
Soit n l'âge du grand-père de Zig :
[n(n+1)(6n3 + 9n2 + n – 1) / 30 ] / [n(n + 1)(2n + 1) / 6] = (6n3 + 9n2 + n -1) / 5(2n + 1) =
(2n+1)(3n2 + 3n - 1) / 5(2n +1) = (3n2+3n-1) / 5
3n2+3n-1 doit un multiple de 5 soit n 1 (mod 5) et (3n2+3n-1) / 5 doit être un carré.
On trouve comme premières valeurs : n
âge grand-père (3n2+3n-1) / 5 [(3n2+3n-1) / 5]^0.5 âge grand-mère
1 1 1
6 25 5
86 4489 67
401 96721 311
Un seul couple de valeurs acceptables : (86, 67) Q3
Un calcul donne comme premières valeurs de r(k) = 13, 41, 85, 145, … dont la deuxième différence finie est constante et égale à 16. Dans ce cas on sait que r(k) est une fonction polynomiale du second degré, soit r(k) = ak2 + bk + c
La résolution du système : a + b + c = 13
4a + 2b + c = 41
9a + 3b + c = 85 donne : a = 8, b = 4 et c = 1
Reste à démontrer par récurrence que : r(k) = 8k2 + 4k + 1.
La propriété est évidemment vraie pour k = 1,
par définition
=
On veut montrer que cette fraction est égale à 8(k+1)2 + 4(k+1) + 1 = 8k2 + 20k +13 Le calcul donne bien :
Ce qui démontre que : r(k) = 8k2 + 4k + 1
R(k) est toujours entier et est un carré pour k=10, 348, 11 830, 401 880, … Qui donne respectivement r(k) = 29², 985², 33 461², 1 136 689²
Q4
On peut écrire 79 = 64 + 15 = 4*16 + 15 * 1 = 4*24 + 15*14
Comme 34 = 81 et que 5*24 = 80 il faut au minimum 4+15 = 19 entiers.
Liouville prouva (en utilisant le théorème des quatre carrés de Lagrange et l'identité polynomiale de Liouville) que g(4)53. Hardy et Little établirent que g(4)21, inégalité qui fut ramenée à g(4) = 19 par Balasubramanian et al en 1986.
(source Mathworld)
