A523 - En quatrième vitesse

Q₁- Passage en première...

Zig, Puce et Alfred (le pingouin) détiennent chacun un entier relatif. La somme des trois nombres est nulle. Démontrer que le double de la somme de leurs puissances quatrièmes est un carré parfait

Puisque (-a-b)

⁴

=(a+b)

⁴

, l’identité 2(a

²

+ab+b

²

)

²

=a

⁴

+b

⁴

+(a

⁴

+4a

³

b+6a

²

b

²

+4ab

³

+b

⁴

)=a

⁴

+b

⁴

+(a+b)

⁴

, montre que la somme des puissances quatrièmes de nombres de somme nulle est le double (ou la moitié) d’un carré parfait.

Q₂ - Passage en seconde...

Zig dit à Puce: “la somme des puissances quatrièmes des entiers qui vont de 1 à l’âge de mon grand’père rapportée à la somme des carrés de ces mêmes entiers est égale au carré de l’âge de ma grand’mère”. Déterminer les âges des grands-parents de Zig.

1

⁴

+...+n

⁴

=n(n+1)(2n+1)(3n

²

+3n-1)/30, 1

²

+...+n

²

=n(n+1)(2n+1)/6 : leur rapport, (3n

²

+3n-1)/5 est entier pour n=1 ou 3 (mod 5) . Pour n=86 (le grand-père), c’est le carré de 67( la grand-mère)

Q₃ - Passage en troisième...

Pour l’entier k prenant les valeurs 1,2,3,...,Zig établit la suite des nombres égaux à la puissance quatrième des k premiers entiers pairs successifs > 0 auxquels il ajoute chaque fois la fraction égale à un quart puis il calcule le produit N des nombres ainsi obtenus.

De la même manière, Puce établit la suite des nombres égaux à la puissance quatrième des k premiers entiers impairs successifs auxquels il ajoute chaque fois un quart et il calcule le produit D des nombres obtenus.

Alfred calcule pour tout k = 1,2,3.... la séquence des rapports r = N/D. Démontrer que r est toujours un entier et calculer k quand r est un carré parfait pour la quatrième fois dans la séquence.

Si T

n

=n(n+1)/2 désigne le n-ième nombre triangulaire,

n

⁴

+1/4=(n(n-1)+1/2)(n(n+1)+1/2)=(4T

n-1

+1)(4T

n

+1)/4 : donc N=(4T

1

+1)(4T

2

+1)...(4T

2k

+1)/4

^k

D=1*(4T

1

+1)...(4T

2k-1

+1)/4

^k

, et r=N/D=4T

2k

+1=8k

²

+4k+1 : c’est un carré r=h

²

, si (4k+1)

²

=2h

²

-1 le développement en fraction continue de √2 permet d’obtenir les solutions entières de a

²

-2b

²

+1=0 : on passe de la solution (a, b) à la suivante (a’, b’) par a’=3a+4b, b’=2a+3b soit (1,1), (7,5), (41,29), (239,169), (1393, 985), (8119, 5741), (47321, 33461), (275807, 195025), (1607521, 1136689),...

Ne conviennent que celles où a est de la forme 4k+1 : pour k=401880, r=1136689

²

.

Q₄- Passage en quatrième...

Alfred pose à ses deux amis les deux questions suivantes:

-

à Puce : combien faut-il au minimum d’entiers pas nécessairement distincts pour exprimer l’entier 79 comme somme des puissances quatrièmes de ces entiers?

-

à Zig : on écrit tout entier positif sous la forme de la somme des puissances quatrièmes de k entiers pas nécessairement distincts, k étant le plus petit possible. Démontrer que :

a) k ≤53 (****) b) k ≤ 21 (*****) c) k ≤ 19 (******)

Les seules puissances quatrièmes inférieures à 79 sont 1 et 16 ; 79=4*16+15=4*2

⁴

+15*1

⁴

montre qu’il faut la somme de 4+15=19 puissances quatrièmes pour exprimer 79.

Sachant que tout entier peut s’exprimer comme somme d’au plus 4 carrés, et avec l’aide de l’identité

6(a²+b²+c²+d²)²=(a+b)⁴+(a-b)⁴+(a+c)⁴+(a-c)⁴+(a+d)⁴⁾+(a-d)⁴+(b+c)⁴+(b-c)⁴+(b+d)⁴+(b-d)⁴+(c+d)⁴+(c-d)⁴, on en déduit que le sextuple de tout carré peut s’exprimer comme somme de 12 puissances quatrièmes ; on

peut alors effectuer la division euclidienne par 6 de tout entier n=6q+r avec r≤5 : q s’exprime comme somme de 4 carrés, donc 6q comme somme de 48 puissances quatrièmes, et n comme somme de 48+r≤53 puissances quatrièmes.

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