A523 - En quatrième vitesse…
Solution proposée par Patrick Gordon Q₁- Passage en première...
Zig, Puce et Alfred (le pingouin) détiennent chacun un entier relatif. La somme des trois nombres est nulle. Démontrer que le double de la somme de leurs puissances quatrièmes est un carré parfait.
Soit 3 entiers relatifs x, y, z tels que x+y+z = 0.
En développant (x+y+z)4 et en regroupant les termes de manière à mettre (x+y+z) en facteur autant que possible, on trouve aisément que, si (x+y+z) = 0, on a :
x4 + y4 + z4 = 2 (x²y² + y²z² + z²x²)
Il faut montrer que l'expression A entre parenthèses du deuxième membre est un carré parfait.
Pour ce faire, renonçons à la symétrie en x, y, z et remplaçons z par – (x+y).
L'expression A devient, en fonction des seules variables x, y : x4 + 2x3y + 3x²y² + 2xy3 + x4.
On montre aisément que cette expression n'est autre que le carré de : x² + xy + y².
Ainsi, si (x+y+z) = 0, 2(x4 + y4 + z4) = 4A = [2 (x² + xy + y²)]² est bien un carré parfait.
Q₂ - Passage en seconde...
Zig dit à Puce: “la somme des puissances quatrièmes des entiers qui vont de 1 à l’âge de mon grand-père rapportée à la somme des carrés de ces mêmes entiers est égale au carré de l’âge de ma grand-mère”. Déterminer les âges des grands-parents de Zig.
On sait (ou l'on retrouve aisément) que la somme des puissances quatrièmes des entiers de 1 à n est :
S4 = n (n+1) (2n+1) (3n2+3n–1) / 30
et que la somme des carrés des entiers de 1 à n est : S2 = n (n+1) (2n+1) / 6
On a donc :
S4 / S2 = (3n2+3n–1) / 5.
Or (3n2+3n–1) / 5 n'est un carré que pour n = 1, 6 (ce qui est un peu jeune pour un grand- père!) ou 86.
Pour n = 86, S4 / S2 est le carré de 67.
Les grands-parents de Zig ont donc 86 ans (pour le grand-père) et 67 ans (pour la grand-mère).
Q₃ - Passage en troisième...
Pour l’entier k prenant les valeurs 1,2,3,..., Zig établit la suite des nombres égaux à la
puissance quatrième des k premiers entiers pairs successifs > 0 auxquels il ajoute chaque fois la fraction égale à un quart puis il calcule le produit N des nombres ainsi obtenus.
De la même manière, Puce établit la suite des nombres égaux à la puissance quatrième des k premiers entiers impairs successifs auxquels il ajoute chaque fois un quart et il calcule le produit D des nombres obtenus.
Alfred calcule pour tout k = 1,2,3.... la séquence des rapports r = N/D. Démontrer que r est toujours un entier et calculer k quand r est un carré parfait pour la quatrième fois dans la séquence.
N = (24 +1/4) (44 +1/4)… ((2k)4 +1/4) = 1/4k (4×24 + 1) (4×44 + 1)… (4(2k)4 +1) = 1/4k (26 + 1) (210 + 1)… (26k4 +1)
D = (14 +1/4) (34 +1/4)… ((2k-1)4 +1/4) = 1/4k (4×14 + 1) (4×34 + 1)… (4(2k-1)4 +1) r = N/D = 65 × 1025… / 5 × 325…
En calculant r au moyen d'un tableur et en recherchant la suite trouvée sur le site OEIS, on trouve la formule explicite :
r = 8k² + 4k + 1
Si r est un carré parfait, soit q², c'est que l'équation en k : 8k² + 4k + 1 – q² = 0
a une racine entière.
On recourt, pour cette recherche, au site de Dario Alpern, qui nous donne les 4 premières solutions entières positives :
k q
10 29
348 985
11 830 33 461
401 880 1 136 689 La réponse est donc k = 401 880.
Q₄- Passage en quatrième...
Alfred pose à Puce la question suivante :
Combien faut-il au minimum d’entiers pas nécessairement distincts pour exprimer l’entier 79 comme somme des puissances quatrièmes de ces entiers?
Comme n4 n'est inférieur à 79 que pour n ≤ 2, on ne peut combiner que des 14 et des 24. Le minimum est obtenu avec 79 = 4 × 24 + 15 × 14, soit 19 entiers.
Alfred pose à Zig la question suivante :
On écrit tout entier positif sous la forme de la somme des puissances quatrièmes de k entiers pas nécessairement distincts, k étant le plus petit possible. Démontrer que k ≤ 19.
Quelques calculs au moyen d'un tableur montrent que, jusqu’à 64 =1296, la propriété est vraie et que les nombres pour lesquels k = 19 (nous les appellerons les "k=19") sont notamment :
79, 159, 239, 319, 399, 479, 559, 719…
C’est-à-dire les nombres de la forme 79 + 80n ou encore 80n – 34, à quelques exceptions près, comme 639 = 54 + 14 (soit k = 15).
Remarquons qu'il n'est pas surprenant que ces "k=19"se suivent de 80 en 80.
En effet, on passe de
79 = 15 × 14 + 4 × 24 à
159 = 14 × 14 + 4 × 24 + 1 × 34
en ajoutant 1 fois 34 = 81 et en retranchant 1 fois 14 = 1.
On peut faire encore 15 fois l'opération, pour arriver à : 1279 = 0 × 14 + 4 × 24 + 15 × 34
Quand on passe de 1279 à 1279 + 80 = 1359, on fait intervenir 64 = 1296 et 1359 s'écrit : 1359 = 15 × 14 + 3 × 24 + 0 × 34 + 1 × 64
On peut faire encore 16 fois l'opération, pour arriver à : 2559 = 0 × 14 + 3 × 24 + 15 × 34 + 1 × 64
et ainsi de suite.
Certes il y aura là encore des exceptions, mais on peut conjecturer que :
Un premier ensemble de "k=19"est inclus dans l'ensemble des nombres de la forme 80n – 34. On constate toutefois l'existence d'une autre suite de "k=19", à savoir :
384 464 624 704 864 944 1104…
C’est-à-dire des nombres alternativement espacés de 80 et de 160, à partir de 384.
Considérons la suite 384 + 80n (en oubliant les exceptions) et conjecturons que c'est un autre sur-ensemble de "k=19".
On notera que ces nombres s'écrivent : 80n – 24.
On notera aussi que, au-delà d'une certaine valeur de n, on retrouve les nombres qui s'écrivent 80n – 24 ou 80n – 34 parmi ceux qui s'écrivent 80n – 44 ou 80n – 64 ou 80n – 74
En revanche, les nombres qui s'écrivent 80n – 54, c’est-à-dire 75, 155… ne sont pas des
"k=19".
Conjecturons donc que la totalité des "k=19" est incluse dans l'ensemble des nombres 80n – 24 ou 80n – 34.
Si nous étions plus hardis encore, nous conjecturerions qu'il n'y pas de "k>19".
C'est ce que dit le théorème de Hilbert-Waring (1909), complété en 1986 par Deshouillers, Dress, Balasubramanian…
