A523 - En quatrième vitesse.. [** à ***** à la main]
Q₁- Passage en première...
Zig, Puce et Alfred (le pingouin) détiennent chacun un entier relatif. La somme des trois nombres est nulle. Démontrer que le double de la somme de leurs puissances quatrièmes est un carré parfait Q₂ - Passage en seconde...
Zig dit à Puce: “la somme des puissances quatrièmes des entiers qui vont de 1 à l’âge de mon grand’père rapportée à la somme des carrés de ces mêmes entiers est égale au carré de l’âge de ma grand’mère”. Déterminer les âges des grands-parents de Zig.
Q₃ - Passage en troisième...
Zig établit la suite des nombres égaux à la puissance quatrième des k premiers entiers pairs successifs
> 0 auxquels il ajoute chaque fois un quart puis il calcule le produit N des nombres ainsi obtenus. De la même manière, Puce établit la suite des nombres égaux à la puissance quatrième des k premiers entiers impairs auxquels il ajoute chaque fois un quart et on obtient le produit D des nombres obtenus. Alfred calcule pour tout k le rapport N/D. Démontrer que ce rapport est toujours un entier et calculer n quand ce rapport est un carré parfait pour la quatrième fois.
Q₄- Passage en quatrième...
Alfred pose à deux amis les deux questions suivantes:
- à Puce : combien faut-il au minimum d’entiers pour exprimer l’entier 79 comme somme des puissances quatrièmes de ces entiers?
- à Zig : on écrit tout entier positif sous la forme de la somme des puissances quatrièmes de k entiers, k étant le plus petit possible. Démontrer que :
a) k ≤53 (****) b) k ≤ 21 (*****) c) k ≤ 19 (******)
Solution proposée par Daniel Collignon Q1
Approche directe à l'aide des sommes de Newton
ou bien on vérifie directement que si a+p+z=0, alors 2(a⁴+p⁴+z⁴)=(a²+p²+z²)² Preuve :
(a+p+z)²=0=a²+p²+z²+2(ap+pz+za)=a²-p²+z²+2za (a²+p²+z²)²=a⁴+p⁴+z⁴+2(a²p²+p²z²+z²a²)
p²(a²+z²)+z²(p²+a²)+a²(z²+p²) = p²(p²-2za)+z²(z²-2ap)+a²(a²-2pz) = p⁴+z⁴+a⁴-2apz(a+p+z)
Q2
1⁴+...+n⁴ = n(n+1)(6n³+9n²+n-1)/30 1²+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6
Leur rapport vaut (3n²+3n-1)/5
Un examen rapide des valeurs de n congrues à 1 ou 3 modulo 5 permet de trouver que le grand-père a 86 ans et la grand-mère 67.
Q3
On peut montrer par récurrence que r_k = 8k²+4k+1 Voir la suite http://oeis.org/A102083
A l'aide d'une équation de Pell-Fermat, r_k est un carré parfait pour k=10, 348, 11830, 401880...
Q4
Il faut 19 entiers pour écrire 79 = 4*2⁴ + 15*1⁴
Voir la suite http://oeis.org/A002377 et les pages sur le problème de Waring bornes 53 (Liouville), 21 (Hardy et Littlewood) et 19 (Balasubramanian, Deshouillers et Dress)
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/TAN/TAN_1984-1985__1_/TAN_1984- 1985__1__A14_0/TAN_1984-1985__1__A14_0.pdf
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/TAN/TAN_1985-1986__2_/TAN_1985- 1986__2__A4_0/TAN_1985-1986__2__A4_0.pdf
