A523. En quatrième vitesse Q1 - Passage en première...
Zig, Puce et Alfred (le pingouin) détiennent chacun un entier relatif. La somme des trois nombres est nulle. Démontrer que le double de la somme de leurs puissances quatrièmes est un carré parfait Q2 - Passage en seconde...
Zig dit à Puce: “la somme des puissances quatrièmes des entiers qui vont de 1 à l’âge de mon grand’père rapportée à la somme des carrés de ces mêmes entiers est égale au carré de l’âge de ma grand’mère”. Déterminer les âges des grands-parents de Zig.
Q3 - Passage en troisième...
Pour l’entier k prenant les valeurs 1,2,3,...,Zig établit la suite des nombres égaux à la puissance quatrième des k premiers entiers pairs successifs > 0 auxquels il ajoute chaque fois la fraction égale à un quart puis il calcule le produit N des nombres ainsi obtenus.
De la même manière, Puce établit la suite des nombres égaux à la puissance quatrième des k
premiers entiers impairs successifs auxquels il ajoute chaque fois un quart et il calcule le produit D des nombres obtenus.
Alfred calcule pour tout k = 1,2,3.... la séquence des rapports r = N/D. Démontrer que r est toujours un entier et calculer k quand r est un carré parfait pour la quatrième fois dans la séquence.
Q4 - Passage en quatrième...
Alfred pose à ses deux amis les deux questions suivantes:
- à Puce : combien faut-il au minimum d’entiers pas nécessairement distincts pour exprimer l’entier 79 comme somme des puissances quatrièmes de ces entiers?
- à Zig : on écrit tout entier positif sous la forme de la somme des puissances quatrièmes de k entiers pas nécessairement distincts, k étant le plus petit possible. Démontrer que :
a) k ≤53 (****) b) k ≤ 21 (*****) c) k ≤ 19 (******)
Q1) Les éventuels signes moins disparaissent en élevant à la puissance 4 : seule la valeur absolue importe. Si parmi les 3 nombres a et b sont de même signe, le dernier nombres est c = – (a+b) . On peut étudier 2.[a4+b4+(a+b)4 ] = 4.[a4 + 2a3b + 3a²b² + 2ab3 + b4] = [2(a² + ab + b²)]² .
Q2) (Somme k de 1 à n de k4 )/(Somme k de 1 à n de k²) = (3n²+3n – 1)/5 . Si n est l'age du grand-père et m l'age de la grand-mère, 3n²+3n – 1 = 5m² . Pour n<200, les seules solutions sont (n,m) = (1,1) ou (6,5) ou (86,67).
Seule solution vraissemblable : le grand-père est agé de 86 ans et la grand-mère est agée de 67 ans.
Q3)
n 1 2 3 4 5 6
r 13 41 85 145 221 313
On observe que 13=8+4+1 ; 41=8*2²+4*2+1 ; 85=8*3²+4*3+1 ; etc..
Il faut démontrer que r = 8n²+4n+1 ou, par récurrence que
[(2n)4 +1/4]/[(2n-1)4 +1/4] = (8n²+4n+1)/[8(n-1)²+4((n-1)+1] ou que
(64n4 +1)(8n²-12n+5) = (64n4 -128n3+96n²-32n+5)(8n²+4n+1). En développant chacun des deux membres on trouve le même polynôme : 512n6 - 768n5 + 320n4 + 8n² – 12n + 5 . cqfd.
Donc r est toujours un entier qui s'exprime par 8n²+4n+1.
8n²+4n+1 = y² ↔ 16n² + 8n + 2 = 2y² ↔ (4n + 1)² + 1 = 2y²
L'équation diophantienne x² + 1 = 2y² admet les solutions (1,1), (7,5), (41, 29), les méthodes
habituelles permettent de les calculer de proche en proche par (x'', y'') = 6.(x', y') – (x, y) mais il faut
en éliminer une sur deux, pour ne conserver que celles pour lesquelles (x-1)est multiple de 4 :
x 7 41 239 1393 8119 47321 275807 1607521
n # 10 # 348 # 11830 # 401880
y 5 29 169 985 5741 33461 195025 1136689
Quand r est un carré parfait pour la quatrième fois, on a r = 1136689² .
Q4) 79 est somme des puissances quatrièmes de 19 entiers : 79 = 64 +15 = 4* 16 +15* 1 79 = 24 + 24 + 24 + 24 + 14 +...+ 14 .
Q4a) Démonstration de Liouville pour k < 53 :
Tout entier N est de la forme N = 6A + B avec 0 < B <6 .
On applique deux fois le théorème de Lagrange << tout nombre entier est somme de 4 carrés >>
A = A²+A'²+A''²+A'''² = (a²+b²+c²+d²)² + (a'²+b'²+c'²+d'²)² +(a''²+b''²+c''²+d''²)² +(a'''²+b'''²+c'''²+d'''²)² Piuis, en utilisant 4 fois l'identité suivante : 6(a²+b²+c²+d²)² =
(a-b)4+ (a+b)4+(a-c)4+(a+c)4+(a-d)4+(a+d)4+(b-c)4+(b+c)4+(b-d)4+(b+d)4+(c-d)4+(c+d)4
on déduit que 6A peut s'exprimer comme somme des puissances quatrièmes de 48 nombres entiers.
Comme B est somme de 5 puissances quatrièmes (de 1 ou de 0), 6A+B est somme des puissances quatrièmes de 48 + 5 = 53 nombres entiers.
Donc tout entier est somme des puissances quatrièmes de 53 nombres entiers .
Q4b) k < 21 et Q4c) k < 19 C'est trop difficile pour moi, et je n'assimile pas les 25 pages de :
Groupe d’étude en théorie analytique des nombres
FRANÇOIS DRESS
Le problème de Waring pour les bicarrés:
g(4)=19
