A523. En quatrième vitesse
Q1 - Passage en première...
Zig, Puce et Alfred (le pingouin) détiennent chacun un entier relatif. La somme des trois nombres est nulle. Démontrer que le double de la somme de leurs puissances quatrièmes est un carré parfait
Q2 - Passage en seconde...
Zig dit à Puce: “la somme des puissances quatrièmes des entiers qui vont de 1 à l’âge de mon grand’père rapportée à la somme des carrés de ces mêmes entiers est égale au carré de l’âge de ma grand’mère”.
Déterminer les âges des grands-parents de Zig.
Q3 - Passage en troisième...
Pour l’entier k prenant les valeurs 1,2,3,...,Zig établit la suite des nombres égaux à la puissance quatrième des k premiers
entiers pairs successifs > 0 auxquels il ajoute chaque fois la fraction égale à un quart puis il calcule le produit N des nombres ainsi obtenus.
De la même manière, Puce établit la suite des nombres égaux à la puissance quatrième des k premiers entiers impairs successifs auxquels il ajoute chaque fois un quart et il calcule le produit D des nombres obtenus.
Alfred calcule pour tout k = 1,2,3.... la séquence des rapports r = N/D. Démontrer que r est toujours un entier et calculer k quand r est un carré parfait pour la quatrième fois dans la séquence.
Q4 - Passage en quatrième...
Alfred pose à ses deux amis les deux questions suivantes:
- à Puce : combien faut-il au minimum d’entiers pas nécessairement distincts pour exprimer l’entier 79 comme somme des puissances quatrièmes de ces entiers?
- à Zig : on écrit tout entier positif sous la forme de la somme des puissances quatrièmes de k entiers pas nécessairement distincts, k étant le plus petit possible. Démontrer que :
a) k ≤53 (****) b) k ≤ 21 (*****) c) k ≤ 19 (******)
Solution proposée par Jean Nicot
Q1- Soient x, y z les trois nombres de somme S=0 S²= ∑ 𝑥² +2∑ 𝑥𝑦 =0
(∑ 𝑥2)2 = ∑ 𝑥4 + 2 ∑ 𝑥²𝑦² = 4 (∑ 𝑥𝑦)² (∑ 𝑥𝑦)2 = ∑ 𝑥²𝑦² + 2 ∑ 𝑥²𝑦𝑧 = ∑ 𝑥²𝑦² +xyzS = ∑ 𝑥²𝑦² soit ∑ 𝑥4 = 2 (∑ 𝑥𝑦)² donc 2 ∑ 𝑥4 est égal au carré de 2∑ 𝑥𝑦
Q2- Soient p l’âge du grand-père et m celui de la grand’mère
∑ k4 𝑝1 = p(p+1)(2p+1)(3p²+3p-1)/30
Cette relation peut se démontrer par identification d’un polynôme Q(p) du cinquième degré, sans terme constant, avec la relation Q(p) –Q(p-1)=p4
∑ k² 𝑝1 = p(p+1)(2p+1)/6
On obtient la relation (3p²+3p-1)/5 = m²
3p²+3p-1 est divisible par 5 si p est multiple de 5 +1 ou multiple de 5 +3. Cela réduit à 4 possibilités par décennie.
Quelques essais conduisent rapidement à p =86 et m=67
Q3-
k4 +1/4 = (4 k4 +1)/4 =((2k²+1)² - 4k²)/4 = (2k²+2k+1)(2k²-2k+1)/4
4(k+1) 4+1)/(4 k4 +1) = (2k²+6k+5)(2k²+2k+1) / ((2k²+2k+1)(2k²-2k+1) =(2k²+6k+5)/(2k²-2k+1) ou 4(k+1) 4+1)/(4 k4 +1) = (2(k+1)²2(k+1)+1) / (2k²-2k+1) = (2(k+1)²2(k+1)+1) / (2(k-1)²+2(k-1)+1) (4*2 4+1)/ (4*1 4+1)= (2*2²+2*2+1) / 1 = 2*2²+2*2+1 = 13 soit r1= 2*2²+2*2+1 13
(4*4 4+1)/ (4*3 4+1)= (2*4²+2*4+1) / (2*2²+2*2+1)) = 41/13 soit r2 = (2*4²+2*4+1) =41 rk = rk-1 *4(2k) 4+1)/(4(2 k -1) 4+1) rk-1 *(2*(2k)²+2*(2k)+1)/ = rk-1 soit rk = (2*(2k)²+2*(2k)+1) Le rapport r est donc toujours entier. On peut l’écrire sous a forme (2k+1)²+(2k)²
L’équation (u+1)²+u²=v² a pour solutions un= ((2+√8)*(3+√8)^n + (2-√8)*(3 - √8)^n - 4)/8, qui vérifient la relation de récurrence un+2 = 6un+1 - un +2 avec u1 =3 et u2 = 20
Les premières solutions sont : 3, 20, 119, 696, 4059, 23660, 137903, 803760, 4684659, … Voir https://oeis.org/A001652 pour les valeurs de cette suite.
mais seules les valeurs paires conviennent puisque u=2k. Les premières valeurs de k sont donc 10, 348, 11830, 401880,..
La quatrième valeur de k est 401880.
Q4-
79= 4* 16 + 15*1= 4*24 + 15*14 il faut donc 19 bicarrés
La dernière question est très difficile puisqu’elle concerne le problème de Waring, majoration de g(4).
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa22/aa2224.pdf fournit une démonstration (1973) relativement élémentaire pour g(4) ≤ 30.
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/TAN/TAN_1985-1986__2_/TAN_1985-
1986__2__A4_0/TAN_1985-1986__2__A4_0.pdf fournit une démonstration pour g(4)=19
