A523. En quatrième vitesse
Q1 - Passage en première...
Zig, Puce et Alfred (le pingouin) détiennent chacun un entier relatif. La somme des trois nombres est nulle. Démontrer que le double de la somme de leurs puissances quatrièmes est un carré parfait.
Q2 - Passage en seconde...
Zig dit à Puce: “la somme des puissances quatrièmes des entiers qui vont de 1 à l’âge de mon grand-père rapportée à la somme des carrés de ces mêmes entiers est égale au carré de l’âge de ma grand’mère”. Déterminer les âges des grands-parents de Zig.
Q3 - Passage en troisième...
Pour l’entier k prenant les valeurs 1, 2, 3, ..., Zig établit la suite des nombres égaux à la puissance quatrième des k premiers entiers pairs successifs > 0 auxquels il ajoute chaque fois la fraction égale à un quart puis il calcule le produit N des nombres ainsi obtenus.
De la même manière, Puce établit la suite des nombres égaux à la puissance quatrième des k premiers entiers impairs successifs auxquels il ajoute chaque fois un quart et il calcule le produit D des nombres obtenus.
Alfred calcule pour tout k = 1, 2, 3.... la séquence des rapports r = N/D. Démontrer que r est toujours un entier et calculer k quand r est un carré parfait pour la quatrième fois dans la séquence.
Q4 - Passage en quatrième...
Alfred pose à ses deux amis les deux questions suivantes:
- à Puce : combien faut-il au minimum d’entiers pas nécessairement distincts pour exprimer l’entier 79 comme somme des puissances quatrièmes de ces entiers?
- à Zig : on écrit tout entier positif sous la forme de la somme des puissances quatrièmes de k entiers pas nécessairement distincts, k étant le plus petit possible. Démontrer que :
a) k ≤53 (****) b) k ≤ 21 (*****) c) k ≤ 19 (******)
Solution proposée par Paul Voyer Q1
z+p+a=0, a, p, a entiers (relatifs) z²+p²+a²=-2(zp+za+pa)
z4+p4+a4=-2(z²p²+z²a²+p²a²)+4(zp+za+pa)²
=2(z²p²+z²a²+p²a²)+8azp(z+p+a)
=2(zp+za+pa)²
2(z4+p4+a4)=4(zp+za+pa)² qui est un carré parfait.
Q2
La somme des n premiers nombres à la puissance 4 est : Sn4=14 + 24 + 34 + 44 + ... ... + n4 = n(n+1)(6n³+9n²+n−1)/30 La somme des n premiers carrés est :
Sn2=1² + 2² + 3² + 4² + ... ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6.
Si n est l'âge du grand-père, l'âge de la grand'mère est la racine de : (6n³+9n²+n−1)/(10n+5).
Le grand-père de Zig a 86 ans et sa grand'mère a 67 ans.
Q3
r(n) = 8k²+4k+1 OEIS A102083
r est un carré si 8k²+4k+1=y² y entier Les cinq premières solutions sont :
k y
10 29
348 985
11 830 33 461 401 880 1 136 689 13 652 098 38 613 965 Q4
Puce
Les seules puissances quatrièmes inférieures à 79 sont 1 et 16.
79=16*4+1*15
Il faut 4+15=19 puissances quatrièmes pour obtenir le nombre 79.
Zig c)
L'escalade de Dickson montre que tout entier compris entre 13793 et 10245 est la somme de 16 bicarrés.
Repris par Jean-Marc Deshouillers.
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/JTNB/JTNB_2000__12_2/JTNB_2000__12_2_41 1_0/JTNB_2000__12_2_411_0.pdf
Les seuls entiers sommes d'au moins 17 bicarrés entre 1 et 13792 sont les 96 listés dans OEIS A099591.
On peut vérifier de façon exhaustive que tous sont la somme d'au plus 19 bicarrés.
Par exemple :
– Les seuls entiers qui sont la somme de 19 bicarrés sont : 79, 159, 239, 319, 399, 479, 559 = 80k-1, k=1 à 7.
OEIS A046050
– Les seuls entiers qui sont la somme de 18 bicarrés sont :
63, 78, 143, 158, 223, 238, 303, 318, 383, 398, 463, 478, 543, 558, 623, 703, 783, 863, 943, 1008, 1023, 1103, 1183, 1248
OEIS A046049 etc…
