Enoncé A523 (Diophante) En quatrième vitesse.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1 – Passage en première...
Zig, Puce et Alfred (le pingouin) détiennent chacun un entier relatif. La somme des trois nombres est nulle. Démontrer que le double de la somme de leurs puissances quatrièmes est un carré parfait
Si deux des entiers relatifs sont x ety, le troisième est−x−y.
L’identité
2(x4+y4+(−x−y)4) = 4x4+8x3y+12x2y2+8xy3+4y4= (2x2+2xy+2y2)2 fournit la preuve demandée, et la racine du carré parfait, qui est la somme x2+y2+ (−x−y)2 = 2x2+ 2xy+ 2y2 des carrés des trois entiers.
Question 2 – Passage en seconde...
Zig dit à Puce : “la somme des puissances quatrièmes des entiers qui vont de 1 à l’âge de mon grand’père rapportée à la somme des carrés de ces mêmes entiers est égale au carré de l’âge de ma grand’mère”. Déterminer les âges des grands-parents de Zig.
Soitp l’âge du grand-père.
La somme des carrés et la somme des puisances quatrièmes s’obtiennent avec les polynômes de BernoulliBk(x) =X
i
xk−iCkiBi, qui vérifient Bk(x+ 1) =Bk(x) +kxk−1.
Les nombres de BernoulliBk sont 1 =B0,B1 =−1/2,B2 = 1/6, B4 =−1/30,B6= 1/42, . . ., B2m+1= 0.
p
X
1
k2 = 1 3
p3+ 3
2p2+ 3 6p
= p(p+ 1)(2p+ 1)
6 .
p
X
1
k4 = 1 5
p5+ 5
2p4+ 10
6 p3− 5 30p
= p(p+ 1)(2p+ 1)(3p2+ 3p−1)
30 .
La condition est alors 3p2+ 3p−1 = 5m2, simest l’âge de la grand’mère.
Elle s’écrit 3(2p+ 1)2−20m2 = 7.
Une solution est (p, m) = (1,1), qui ne convient pas. Mais comme 1 = 312−60.42, on a
7 = 3(31(2p+ 1)±80m)2−20(12(2p+ 1)±31m)2.
On tire ainsi de la solution (1,1) la solution (6,5) qui ne convient pas non plus, puis la solution (86,67) qui est la bonne, car la solution suivante est (401,311), à réserver aux patriarches bibliques.
Remarque. La suite−67,−1,5,311, qui donne les solutions enm au signe près, peut être prolongée dans les deux sens avec la règle : la somme de trois termes consécutifs est 63 fois le terme médian. On a alors
(2p+ 1)√
3 + 2m√
5 = (3√ 3−2√
5)(4±√ 15)2q.
Question 3 – Passage en troisième...
Pour l’entier k prenant les valeurs 1,2,3, . . . , Zig établit la suite des nombres égaux à la puissance quatrième des k premiers entiers pairs suc- cessifs >0 auxquels il ajoute chaque fois la fraction égale à un quart puis il calcule le produit N des nombres ainsi obtenus.
De la même manière, Puce établit la suite des nombres égaux à la puis- sance quatrième deskpremiers entiers impairs successifs auxquels il ajoute chaque fois un quart et il calcule le produit Ddes nombres obtenus.
Alfred calcule pour toutk= 1,2,3, . . .la séquence des rapports r=N/D.
Démontrer que r est toujours un entier et calculerkquand r est un carré parfait pour la quatrième fois dans la séquence.
Observons la factorisation x4+ 1/4 = (x2−x+ 1/2)(x2+x+ 1/2).
SiN0 inclut un terme de plus que N, le facteurN0/N = (2k+ 2)4+ 1/4 = ((2k+ 2)(2k+ 1) + 1/2)((2k+ 2)(2k+ 3) + 1/2).
De même, D incluant k termes impairs de 1 à 2k−1, le facteur suivant D0/D= (2k+ 1)4+ 1/4 = (2k(2k+ 1) + 1/2)((2k+ 1)(2k+ 2) + 1/2).
Si N/D=r, N0
D0 =r0 =r8(k+ 1)2+ 4(k+ 1) + 1 8k2+ 4k+ 1 car le facteur (2k+ 1)(2k+ 2) + 1/2 se simplifie.
Ainsi l’expression (8k2+ 4k+ 1)/rest indépendante de k; elle vaut 1 car N =D= 1 pourk= 0.
L’entier r = 8k2+ 4k+ 1 =s2, carré parfait, quand 1 = 2s2−(4k+ 1)2. Une solution est (s, k) = (1,0). Les autres solutions s’obtiennent en obser- vant que 1 = 32−2.22, d’où
1 = 2(3s±2(4k+ 1))2−(4s±3(4k+ 1))2. Ces solutions sont synthétisées par la formule s√
2 + 4k+ 1 = (√
2 + 1)j avec j impair, mais pour obtenirk entier ≥0, il faut j−1 multiple de 4.
Les 4 premières valeurs correspondent à j = 5, 9, 13 et 17, et donnent pour (s, k) : (29,10) ; (985,348) ; (33461,11830) ; (1136689,401880).
Question 4 – Passage en quatrième...
Alfred pose à ses deux amis les deux questions suivantes :
à Puce : combien faut-il au minimum d’entiers pas nécessairement distincts pour exprimer l’entier 79 comme somme des puissances quatrièmes de ces entiers ?
à Zig : on écrit tout entier positif sous la forme de la somme des puissances quatrièmes dekentiers pas nécessairement distincts,k étant le plus petit possible. Démontrer que :
a)k≤53 b) k≤21 c)k≤19
Question à Puce : les puissances quatrièmes disponibles pour exprimer 79 sont 14 = 1 et 24 = 16, car 34 = 81 >79. On peut utiliser au plus 4 fois 16, car 5×16 = 80 >79. Il reste alors 79−4×16 = 15 à réaliser par 15 fois 1. Total 4 + 15 = 19 puissances quatrièmes.
Question a) à Zig
SoitN l’entier à exprimer comme somme de puissances quatrièmes, et soit r son reste modulo 6 (0≤r≤5).
Par un théorème bien connu (Lagrange), l’entier (N −r)/6 s’exprime comme somme de quatre carrés
4
X
k=1
A2k.
De même, chacun desAk s’exprime comme P4i=1a2k,i. La somme de 48 puissances quatrièmes
X
k
X
1≤i<j≤4
(ak,i+ak,j)4+ (ak,i−ak,j)4= 6X
k
A2k=N −r
(identité de Liouville, 1859). On la complète parr termes 1 pour obtenir N en 53 puissances quatrièmes au plus.
Les questions b) et c) excèdent ma compétence.
