E645. Casse-tête de la croix grecque
Peut-on inscrire un entier dans chacune des 60 cases non encore remplies de l’échiquier 8 8 ci-après tel que la somme totale des 64 nombres est positive et la somme des 5 nombres contenus dans une croix grecque placée à un endroit quelconque de l’échiquier et recouvrant cinq cases est négative ?
Pour plus les plus courageux : généralisation avec un échiquier de dimension , entier quelconque 8, les entiers 1,0,0 et 0 placés aux quatre coins.
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Considérons un échiquier de dimension . Posons , et plaçons des entiers dans chacune des cases, comme indiqués dans le tableau de gauche ci-dessous.
Les sommes « en croix » sont alors données par le tableau de droite ci-dessous. On constate qu’elles sont bien toutes strictement négatives.
1 x 3x 3x … 3x 3x x 0
x -2x -x -x … -x -x -2x x -2x -x-1 -1 … -1 -x-1 -2x
3x -x -1 -1 … -1 -1 -x 3 -x-1 -2x-3 -x-4 … -x-4 -2x-3 -x-1
3x -x -1 -1 … -1 -1 -x 3 -1 -x-4 -5 … -5 -x-4 -1
… … … … … … … … … … … … … … … …
3x -x -1 -1 … -1 -1 -x 3 -1 -x-4 -5 … -5 -x-4 -1
3x -x -1 -1 … -1 -1 -x 3 -x-1 -2x-3 -x-4 … -x-4 -2x-3 -x-1
x -2x -x -x … -x -x -2x x -2x -x-1 -1 … -1 -x-1 -2x
0 x 3 3 … 3 3 x 0
On calcule la somme de tous les entiers de l’échiquier :
1 8 42 4 43 4 1 48 4 On vérifie que cette somme est strictement positive :
4
8 8 4 1 0 On en conclut finalement le problème par l’affirmative.
