E645. Casse-tête de la croix grecque
Peut-on inscrire un entier dans chacune des 60 cases non encore remplies de l'échiquier 8x8 ci- contre tel que la somme totale des 64 nombres est positive et la somme des 5 nombres contenus dans une croix grecque placée à un endroit quelconque de l'échiquier et recouvrant cinq cases est
négative ?
Pour les plus courageux : généralisation avec un échiquier de dimension n x n , n entier
quelconque > 8 , dans lequel les entiers 1,0,0 et 0 sont respectivement placés aux quatre coins.
Si l’on remarque que les cases de la bordure (hors les coins), appartiennent à une seule croix, tandis que les autres appartiennent à 3, 4 ou 5 croix, on arrive rapidement à une des nombreuses solutions, en plaçant des 1 sur la bordure (a2 à a7, b1 à g1, h2 à h7, b8 à g8), puis -2 en 8 cases du cadre intérieur: c2, f2, g3, g6, f7, c7, b6, b3, enfin -1 en diagonale dans le carré intérieur 4x4 (soit par exemple en c5, d4, e3, d6, e5, f4).
8 7 6 5 4 3 2 1
1 1 1 1 1 1
1 -2 -2 1
1 -2 -1 -2 1
1 -1 -1 1
1 -1 -1 1
1 -2 -1 -2 1
1 -2 -2 1
1 1 1 1 1 1
a b c d e f g h
Pour généraliser à un échiquier nxn, on place la valeur k dans les 4(n-2) cases de la bordure, -k-1 dans 4 fois [n/3] cases du cadre intérieur, et -1 en diagonale dans [(n-2)2/2]-2 cases du cadre (n-2)x(n-2) intérieur, en choisissant k tel que
4(n-2-[n/3])k-[n/3]-[(n-2)2/2]+2≥0 ([ ] désignant la partie entière).
Cela fonctionne également avec 0, voire des valeurs négatives dans chaque coin.
