E641 : Casse-tête de l’ennéagone
Déterminer le plus petit nombre possible de nombres entiers naturels distincts entre eux qui sont inscrits à l'intérieur d'un ennéagone régulier de telle sorte que :
- un entier et un seul apparaît à l'intérieur de tout triangle dont les sommets sont choisis parmi les sommets de l'ennéagone,
- la somme des entiers écrits à l'intérieur de tout octogone convexe dont les sommets sont choisis parmi les sommets de l'ennéagone est un carré parfait,
- parmi les ensembles d'entiers en nombre minimum, on retient celui qui minimise la somme de ces entiers.
Nommons triangle inscrit tout triangle dont les sommets sont ceux de l’ennéagone. En conservant un sommet commun et avec chaque paire de sommets consécutifs, on peut recouvrir l’ennéagone par sept triangles disjoints : il y a donc sept nombres inscrits. Un de ces nombres sera dit périphérique s’il est intérieur à un triangle formé de deux cotés consécutifs de l’ennéagone(dit triangle périphérique), et intérieur dans le cas contraire.
Désignons par 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 les sommets (dans le sens des aiguilles d’une montre). A une rotation et une symétrie près, nous pouvons supposer que les sommets les plus proches d’un point intérieur sont 1 et 0 (dans cet ordre) : ce point est donc intérieur à chacun des triangles d’une paire constituée du triangle 015, et de l’un de triangles 126, 127 ou 128 ; cette paire recouvre totalement le triangle 012 ; s’il existe un nombre intérieur, il ne peut donc y avoir de nombre dans le triangle 012, d’où
contradiction : il en résulte que les sept nombres sont périphériques.
Chaque triangle périphérique est découpé en sept triangles par les cinq diagonales partant du sommet médian ; ces triangles sont de quatre types (à un retournement près) : ainsi, pour le triangle 012, il y a un triangle de type I (entre 15 et 16), deux de type II (entre 14 et 15, 16 et 17), deux de type III (entre 13 et 14, 17 et 18) et deux de type IV (au delà de 13 et de 18). Il y a 13 triangles inscrits contenant chaque triangle de type I, 16 pour le type II, 25 pour le type III, et 5 pour le type 4. Sachant qu’il y a 84 triangles inscrits, contenant un et un seul des sept triangles contenant un nombre, la seule répartition possible est obtenue pour deux triangles de type I, zéro de type II, trois de type III et deux de type IV. Les sommets des trois triangles de type III communs avec ceux de l’ennéagone forment un triangle équilatéral, les deux triangles de type IV sont placés sur deux axes de ce triangle, tandis que les deux triangles de type I sont de part et d’autre du troisième axe.
Soient a, b, c, d, e, f, g les 7 nombres en ordre croissant, et s=a+b+c+d+e+f+g ; nous avons donc s-a=n2, s-b=n12, s-c=n22, s-d=n32, s-e=n42, s-f=n52, s-g=n62 avec
n6<n5<n4<n3<n2<n1<n entiers, soit n1≤n-1, n2≤n-2, n3≤n-3, n4≤n-4, n5≤n-5, n6≤n-6 ou encore b-a≥2n-1, c-a≥4n-4, d-a≥6n-9, e-a≥8n-16, f-a≥10n-25, g-a≥ 12n-36 et donc n2=s-a≥42n-91+6a≥42n-85 ; comme n>1, ceci entraîne n≥40.
La plus petite valeur de s serait obtenue pour n=n1+1=n2+2=n3+3=n5+4=n5+5=n6+6, donc n2-42n+91-6a=0, qui suppose que 212-91+6a=350+6a soit un carré, ce qui est impossible (car congru à 2 modulo 3). En utilisant ce critère, on trouve ensuite que n=n1+1=n2+2=n3+3=n5+4=n5+5=n6+7 soit n2-46n+115-6a=0 pourrait convenir, mais il n’y a pas de solution pour a positif.
La configuration admissible suivante est n=n1+1=n2+2=n3+3=n5+4=n5+6=n6+9, donnant n2-50n+147-6a=0, qui pour a=1 admet la solution n=47, d’où s=2210, avec a=1, b=94, c=185, d=274, e=361, f=529 et g=766.
