E641. Casse-tête de l’ennéagone
Déterminer le plus petit nombre possible de nombres entiers naturels distincts entre eux qui sont inscrits à l'intérieur d'un ennéagone régulier de telle sorte que:
- un entier et un seul apparaît à l'intérieur de tout triangle dont les sommets sont choisis parmi les sommets de l'ennéagone,
- la somme des entiers écrits à l'intérieur de tout octogone convexe dont les sommets sont choisis parmi les sommets de l'ennéagone est un carré parfait,
- parmi les ensembles d'entiers en nombre minimum, on retient celui qui minimise la somme de ces entiers.
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Positions des nombres entiers
Exploitons la propriété « un entier et un seul apparaît à l'intérieur de tout triangle dont les sommets sont choisis parmi les sommets de l'ennéagone ».
Dans chacun des trois cas suivants, on suppose qu’un entier est présent dans la surface verte. D’après la propriété, il ne peut donc pas en figurer un second dans les deux triangles rouges qui incluent cette surface verte. Ce qui impliquerait qu’il n’y ait aucun nombre dans le triangle ronge foncé, contredisant la propriété.
On en déduit qu’il ne peut y avoir de nombre présent dans l’ennéagone intérieur en rouge sur la figure ci-dessous :
La couronne restante est composée de petits triangles n’incluant qu’un seul sommet de l’ennéagone et de triangles plus grands incluant deux sommets. Supposons qu’aucun nombre ne soit présent dans un de ces plus grands triangles. En étudiant les différents cas (voir ci-dessous), on aboutit par un raisonnement analogue au précédant à des contradictions.
En partant des contraintes ainsi établies, on identifie l’ensemble des configurations possibles. On décrit tous ces cas en découpant la figure ci-dessous selon les lignes bleues, puis en retournant par symétrie certains des morceaux ainsi obtenus. On remarque que dans chacune des configurations, on a exactement 7 nombres. Les ensembles d’entiers contenus dans les neuf octogones convexes sont les sous-ensembles de 6 nombres que l’on peut former avec ces 7 nombres.
Valeurs des nombres entiers
Notons les nombres entiers naturels distincts recherchés. Ils constituent une solution de somme minimale du système diophantien :
On remarque en particulier que les sont donc distincts et que . La solution qui minimise la somme des , minimise donc aussi .
Posons la matrice identité et la matrice ne contenant que les 1.
On calcule alors et . On en déduit que :
On peut supposer, sans nuire à la généralité, que . On obtient :
D’où finalement .
On constate que la solution ( convient. Toute solution dont la
est inférieure ou égale à la de cette première solution vérifie donc :
C’est à dire
Parmi les 3432 cas tels que . Aucune meilleure solution n’est
trouvée.
On conclut alors que est la solution minimale recherchée.
La somme vaut alors 2210.
