D630 - L’ennéagone d’Erdös
Il est bien connu que dans tout polygone régulier, chaque sommet est à égale distance de deux autres sommets au plus. Tracer à la règle et au compas un ennéagone convexe tel que chaque sommet est à égale distance de trois autres sommets.
Solution proposée par Paul Voyer:
L'ennéagone ne peut pas être un polygone régulier.
Définition :
Un triangle de Reuleaux est basé sur un triangle équilatéral, et formé des 3 arcs de cercle centrés chacun en un sommet et reliant les 2 autres sommets.
Lemme :
Un triangle équilatéral DEF concentrique d'un triangle de Reuleaux ABC et y ayant ses sommets est vu depuis A, B, C sous un angle droit.
Démonstration : le triangle ACD est isocèle de sommet A, centre du cercle d'arc BC.
L'angle ACE vaut la moitié de ABE (angle inscrit et angle au centre), lequel est égal à l'angle CAD (par rotation de 120° autour de O).
Donc CE est parallèle à la hauteur issue de A dans le triangle ACD, médiatrice de CD, et perpendiculaire à CD.
Construction à la règle et au compas d'un ennéagone :
1- Triangle ABC de Reuleaux, centré en O (en bleu).
2- Point E sur le cercle de centre A, prolongement de l'arc BC ; E doit être assez voisin de C pour que H existe et que le résultat soit convexe (angle HAF).
3- Points D et F par symétrie ternaire de centre O.
EDF triangle de Reuleaux (en rouge).
4- Point H, intersection du cercle de centre D, arc EF, du cercle de diamètre AC.
5- Points G et I par symétrie ternaire de centre O.
Le triangle de Reuleaux GHI (en vert) passe par A, B, C, voir lemme ci-dessus.
L'ennéagone AHECGDBIF répond bien aux conditions imposées : A est à égale distance de B, C, E. (idem B, C)
D est à égale distance de E, F, H. (idem E, F) G est à égale distance de A, H, I. (idem I, H) Convexité (voir 2- choix de E).
