D631. Le tenon et la mortaise
D6. Constructions avec règle et compas Problème proposé par Louis Rogliano
Q1 : Tracer à la règle et au compas un triangle équilatéral dont les trois sommets se trouvent respectivement sur chacun des trois côtés d’un triangle ABC quelconque.
Q2 : Avec les mêmes instruments, tracer le triangle équilatéral d’aire minimale dont les sommets se trouvent respectivement sur chacun des trois côtés d’un triangle ABC quelconque.
Solution Q1 : Il est possible de choisir sur le côté AC un point M tel que l’image du segment AB dans la rotation de centre M d’angle 60° soit un segment A’B’ sécant au côté BC. ( on sait construire au compas deux triangles équilatéraux directs MAA’ et MBB’ ). Si M’ = A’B’∩ BC , le triangle équilatéral indirect MM’M’’ a bien son 3ème sommet sur AB. ( pas de figure ).
Solution Q2 : Soit un triangle équilatéral MM’M’’ de dimension invariable avec M’ mobile sur CB et M’’
mobile sur BA. Dans le mouvement plan sur plan de MM’M’’ par rapport à ABC, tout point du plan mobile décrit une ellipse ou un segment. Le point M décrit une ellipse dont le grand axe est porté par la bissectrice intérieure Bx de ABC, et le petit axe par la bissectrice extérieure By de ABC. Les sommets H et K du grand axe et du petit axe sont constructibles à la règle et au compas : quand M’M’’ est parallèle à By, M est en H, et quand M’M’’ est parallèle à Bx, M est en K. L’ellipse E, lieu de M est donc définie par ses axes et ses
sommets, et pourra être étudiée comme transformée de son cercle principal ( centre B, rayon BH ) par affinité orthogonale d’axe Bx et de rapport BK/BH = BK/BK’.
Soit d la longueur des côtés du triangle équilatéral mobile MM’M’’, les diverses ellipses E’ correspondant à d’autres valeurs de d, sont homothétiques de E dans des homothéties de centre B.
Si d est petit, E’ ne coupe pas AC et il n’y a aucun triangle équilatéral de côté d, inscrit dans ABC.
La valeur minimum de d pour qu’un tel triangle existe est celle pour laquelle E’ est tangente à AC.
Pour construire le point de contact T de E’ et AC, on détermine le point de contact S de E avec une tangente parallèle à AC. Une homothétie de centre B transformera S en T.
La parallèle à AC menée par K coupe Bx en G, la perpendiculaire à K’G issue de B coupe le cercle de centre B et rayon BH en S’ (la tangente en S’ au cercle principal a la direction de K’G ) ,K’S’ coupe Bx en L, la
perpendiculaire issue de S’ à Bx coupe KL en S, BS coupe AC en T.
La rotation de centre T d’angle 60° tansforme AB en A’B’, A’B’ coupe BC en T’, le triangle équilatéral indirect TT’T’’ est le triangle équilatéral d’aire minimale inscrit dans ABC.
