Solution proposée par Patrick Gordon Le triangle ABC est équilatéral

D2914 – Distances inconnues

Problème proposé par Michel Lafond

Dans le plan on a 5 points A, B, C, D, E. Sur les dix distances qui séparent les points pris deux à deux, sept d’entre elles exprimées en mm sont connues :

d(A,B) = 2352, d(A,C) = 2352, d(A,E) = 1520, d(B,C) = 2352, d(B,E) = 1168, d(C,D) = 1365, d(D,E) = 43.

Déterminer les trois autres distances d(A,D), d(B,D) et d(C,E).

Solution proposée par Patrick Gordon

Le triangle ABC est équilatéral. E peut a priori lui être intérieur ou extérieur.

Mais E extérieur à ABC peut être écarté d'emblée. En effet, EC doit être compris entre DC – ED = 1365 – 43 = 1322 et DC + ED = 1365 + 43 = 1408.Or, si E est extérieur à ABC, EC est > à la distance de C au côté AB, soit 2352 √3/2 ≈ 2037.

Donc E est intérieur à ABC

Cherchons si D peut être placé, compte tenu des inégalités dans le triangle CDE. DC et DE sont donnés. Reste à calculer EC.

Or EC peut être calculé par la loi des cosinus dans l'un ou l'autre des triangles EAC et EBC.

Dans le triangle ABE, en effet, on a :

1168² = 2352² + 1520² – 2×2352×1520 cos EAB d'où :

cos EAB = (2352² + 1520² – 1168²) / (2×2352×1520) = 0,906015 d'où :

EAB = 0,437024 rd (soit environ 25°)

d'où :

EAC = /3 – 0,437024 = 0,610173rd (soit environ 35°) D'où :

cos(EAC) = 0,819549

Reste à reporter cos(EAC) dans le triangle EAC, soit :

EC² = 2352² + 1520² – 2×2352×1520×0,819549 = 1982464

D'où EC = 1408. C'est un cas limite de l'inégalité du triangle : EDC sont alignés, ce que n'exclut pas l'énoncé.

Cette solution respecte les données d(C,D) = 1365, d(D,E) = 43. Elle donne d(C,E) = 1408, faisant ainsi tomber à 2 le nombre de distances inconnues. Reste à calculer celles-ci, soit d(A,D) et d(B,D).

AD se calcule dans le triangle ACD qui a en commun le côté AC et l'angle ACD avec le triangle ACE. Ainsi :

AD² = 1365² + 2352² – 2×1365×2352 cosACE 1520² = 1408² + 2352² – 2×1408×2352 cosACE Soit encore, pour éliminer le cosinus :

1408 AD² = 1408×1365² + 1408×2352² – 2×1408×1365×2352 cosACE 1365×1520² = 1365×1408² + 1365×2352² – 2×1408×1365×2352 cosACE ___________________________________________________________

1408 AD² – 1365×1520² = 1408×1365 (–43) + 43×2352² D'où AD = 1533

De la même manière, BD se calcule dans le triangle BCD qui a en commun le côté BC et l'angle BCD avec le triangle BCE. Ainsi :

BD² = 1365² + 2352² – 2×1365×2352 cosBCE 1168² = 1408² + 2352² – 2×1408×2352 cosBCE

Soit encore, pour éliminer le cosinus :

1408 BD² = 1408×1365² + 1408×2352² – 2×1408×1365×2352 cosBCE 1365×1168² = 1365×1408² + 1365×2352² – 2×1408×1365×2352 cosBCE ___________________________________________________________

1408 BD² – 1365×1168² = 1408×1365 (–43) + 43×2352² D'où BD = 1197.