I-151 Le périple de Zig
Solution proposée par Michel Lafond
Zig et Puce sont en deux points Z et P à l'intérieur d'un champ (bords et sommets exclus) qui a la forme d'un triangle équilatéral ABC de 350 mètres de côté. Zig décide de faire un trajet qui le mène
respectivement sur les bords BC, CA et AB du champ (sommets A, B et C exclus) puis il va à la rencontre de Puce avant de revenir à son point de départ. A l'issue de son périple qui est le plus court possible, la distance qu'il a parcourue est de 1275 mètres. Localiser les points Z et P dans le champ avec une approximation inférieure à un mètre sur chacune des positions de Z et de P.
Z est à moins de 1 m de A, et P est à moins de 1 m de C.
Solution :
L’unité est le mètre.
On utilise le principe bien connu des symétries pour "déplier" la te trajet de manière à le rendre rectiligne sans changer sa longueur.
Le trajet (ZDEFPZ) de la figure 1 devient le trajet (ZDE’F’P’Z’) de la figure 2, qui lui-même se décompose en (ZDE’F’P’) et (P’Z’).
C’est parce que ZP’ est minimal par hypothèse que le "dépliage" est justifié.
Or :
- D’une part (ZDE’F’P’) mesure moins que AC’ soit 350 7.
(En effet, dans le triangle rectangle (AC’H), AH = AB’ + B’H = 350 2 + 350/2 et C’H = 175 3).
- Et d’autre part P’Z’ mesure moins de 350.
Le trajet complet (ZDEFPZ) mesure donc moins de 350(1 7)1276,01.
Comme il mesure 1275 au plus court, c’est que Z est très proche de A et P très proche de C (Figure 1).
Montrons que Z ne peut pas être éloigné de A de plus d’un mètre : Figure 1
A
B C
Z
D E F
P
A
B D
E’
F’
C
A’ B’
C’
Z
Z’
P’
Figure 2
H
Supposons que Z soit à plus d’un mètre de A, donc à l’extérieur du secteur (AMN) de la figure 3, pour lequel le rayon AM mesure 1m. [La figure 3 est déformée pour plus de visibilité].
Montrons que le trajet complet (ZDEFPZ) mesure alors strictement moins de 1275 m.
Pour cela on peut supposer (Le pire des cas) que Z est sur l’arc (MN). On peut alors paramétrer la position de Z par l’arc = (AM, AZ) et calculer en fonction de la longueur de (ZC’) [Figure 3].
Le maximum de cette longueur est atteint lorsque Z est en M, et vaut 925,257…
Comme la longueur du dernier segment (ZP) est inférieure à MC = 349,501… on en déduit que le trajet complet (ZDEFPZ) mesure moins de 925,258 + 349,502 = 1274,76 soit moins de 1275, ce qui est contraire aux hypothèses.
Z est donc à moins de 1 m de A, et de même, P est à moins de 1 m de C.
(La figure 2 a un centre de symétrie faisant jouer à P par rapport à C le même rôle que Z par rapport à A)
Figure 3 A
B C
Z
Vers C’
M N
