I151. Le périple de Zig.
Zig et Puce sont en deux points Z et P à l'intérieur d'un champ (bords et sommets exclus) qui a la forme d'un triangle équilatéral ABC de 350 mètres de côté. Zig décide de faire un trajet qui le mène respectivement sur les bords BC, CA et AB du champ (sommets A, B et C exclus) puis il va à la rencontre de Puce avant de revenir à son point de départ. A l'issue de son périple qui est le plus court possible, la distance qu'il a
parcourue est de 1275 mètres. Localiser les points Z et P dans le champ avec une approximation inférieure à un mètre sur chacune des positions de Z et de P.
Solution de Claudio Baiocchi : Z est à moins de ½ mètre de A, P est à moins de ½ mètre de C.
La condition que le périple soit le plus court possible se partage en deux : d’un côté on doit minimiser le parcours qui (touchant BC, puis CA et ensuite AC) mène de Z à P ; d’autre côté on doit minimiser (sans contraintes) le parcours de P à Z. La deuxième partie étant immédiate (il faut parcourir le segment PZ) on va s’intéresser à la première partie.
Voyons d’abord comment trouver le parcours de longueur minimum joignant deux points (par example: A et V dans la figure) touchant BC; il faut trouver le point U sur BC qui minimise la somme AU+UV. La
construction est immédiate en pensant le côté BC comme s’il était un miroir: le segment joignant A à V1
(point image de V) coupe BC dans le bon point U. Par réflexions successives on voit que le parcours minimum entre deux points Z et P qui touche en succession les bords BC, CA et AB correspond à un
segment joignant le point Z de ABC à un point P’ de A’B’C’. Oubliant pour l’instant le fait que les positions sur le bord sont prohibés pour Z et P, le plus long parmi ces parcours est AU + UV + VW + WC, qui a comme image AC’ et donc sa longueur vaut 350* mètres ; soit 923 mètres, à 13 millimètres près. De là, si on veut revenir au point de départ A, on parcourt encore 350 mètres, pour un total de à peu près 1276 mètres.
Un calcul simple (à effectuer avec haute précision) montre que si l’on choisit Z hors du cercle de rayon ½
centré en A, et P hors du cercle de rayon ½ centré en C, le parcours correspondant diminue de plus qu’un mètre, et devient ainsi trop court par rapport aux 1275 mètres voulus.
