bc bc bc bc ISuite U = AU

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TS-Spé Complément Matrices 2 : Suite de Matrices - Convergence _2012-2013

I Suite U_n+1 = AU_n

Soitp∈N. Pour toutn∈N,Un est une matrice colonne àplignes (∈ Mp1(R)).Aest une matrice carrée d’ordre p(∈ Mp(R)).

I.1 Expression de Un en fonction de n

Si l’on sait calculerAⁿ, on peut exprimerUn en fonction den.

En effet, comme Un = AUn−1 = A(AUn−2) = A²Un−2 = . . . = AⁿU0. On peut démontrer cette propriété par récurrence.

Soit, pour tout entier natureln∈N, la propriétéP(n) :Un=AⁿU0.

•Initialisation:n= 0 etA⁰=Ip etU0=IpU0 doncP(0) est vraie.

•Hérédité: Démontrons que pour toutn∈N^∗P(n) vraie impliqueP(n+ 1) vraie.

P(n) est vraie ⇔ . . . .

⇒ . . . .

⇔ . . . .

⇔ . . . . doncP(n+ 1) est vraie.

•Conclusion : Ainsi, d’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout entier natureln∈N^∗, Un =AⁿU0.

I.2 Limite d’une suite de matrices

En enseignement obligatoire de mathématiques, l’étude d’une suite de nombres réels conduit à la recherche d’une limite (si elle existe : cas des suites convergentes). Les matrices étant définies comme des tableaux de nombres réels, il est donc naturel de se poser la question d’une matrice « limite » d’une suite de matrices.

Ainsi :

Définition 1 Une suite de matrices(Un)n∈N(toutes dans∈ Mp1(R)) converge vers une matriceLsi les coefficients deUn (suites réelles) convergent les coefficients deLcorrespondants (limites des suites réelles).

En pratique, pour déteminer cette limite, on exprimeUn en fonction denet on étudie la limite des coefficients de Un.

Remarque 1 La matriceL vérifie la relation : L=AL ⇔ (A−Ip)L= 0

Exemple 1 1. Devoir 3 (Suite écriteUⁿ+1=UⁿAavecUⁿ matrice ligne) 2. Une marche aléatoire :

bc4 bc

3

bc ²

bc

1

Écrire la matrice de transitionA−→

(Xⁿ) est une suite de variables aléatoires :Xn=1, 2, 3 ou 4 ; position aprèsnétapes.

Un=







p(Xn= 1) p(Xⁿ= 2) p(Xⁿ= 3) p(Xⁿ= 4)





. Écrire la relation entreUn+1etUn. Rechercher la limite éventuelle L avec un logiciel ou une calculatrice en prenant différentes valeurs deU0 (suivant que l’on part de 1, de 2, etc ... ).

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II Suite U_n+1 = AU_n+B (⋆)

Soitp∈N. Pour toutn∈N,Un est une matrice colonne àplignes (∈ Mp1(R)).Aest une matrice carrée d’ordre p(∈ Mp(R)).B est une matrice colonne àplignes (∈ Mp1(R))

II.1 Expression de Un en fonction de n

• Méthode 1: Il existe une matriceXde∈ Mp1(R) qui vérifieX=AX+B(la matriceXvérifie (⋆)), on a donc : Un+1=AUn+B

X =AX+B =⇒

dif férenceUn+1−X =A(Un−X)

En posant, pour toutn∈N, Vn =Un−X, on obtientVn+1=AVn et l’on est ramené à la situation précédente : Vn+1=AVn

Vn=Un−X ⇔

Vn=AⁿV0

Un =Vn+X ⇒ Un=Aⁿ(U0−X) +X

Remarque 2 Cette méthode est analogue à celle utilisée pour des suites réelles récurentes du typeun+1=aun+b aveca6= 0 eta6= 1. On cherche le réelxtel quex=ax+b, soitx= b

1−a. La suite (vn) définie parvn=un−x est géométrique. On peut donc exprimervn, puisun en fonction denetu0.

• Méthode 2 : Pour toutn∈N^∗, Un=AUn−1+BdoncUn =A(AUn−2+B)+B ⇔⇔Un=A²Un−2+(A+Ip)B.

On montre par récurrence :

∀n∈N^∗, Un=AⁿU0+ (Aⁿ⁻¹+. . .+A+Ip)B=AⁿU0+

n−1

X

k=0

A^k

! B Éffectuer la démonstration :

II.2 Limite d’une suite de matrices

Même définition que dans le paragraphe précédent.

Exemple 2 On considère la suite(Un)de matrices deM₂₁(R)telle queUn+1=AUn+B(1)pour toutn∈NavecA= 2 1

0 3

etB= 10

12

, etU0 = 1

−2

.

1. Déterminer une suite de matrices constante égale àX vérifiant la relation de récurrence (1).

2. En utilisant laméthode 1vue plus haut, exprimerUn en fonction deAⁿ,U0etX. 3. Montrer que pour toutn ∈N, Aⁿ =

2ⁿ 3ⁿ−2ⁿ

0 3ⁿ

. En déduire Uⁿ en fonction de n. La suite (Uⁿ)n∈N admet-elle une limite ?.

Exemple 3 On considère les suites réelles(aⁿ),(bⁿ)et(cⁿ)définies par la donnée dea0= 1, b0= 1etc0= 1pour toutn∈N, ( _a_n

+1=aⁿ+ 0,5cⁿ bn+1= 0,5an+bn+ 0,5cn

cn+1= 0,5cⁿ+ 1

,on poseXn= aⁿ bn

cn

! ,A=

1 0 0,5 0,5 1 0,5 0 0 0,5

! etB=

0 0 1

!

1. ÉcrireXn+1 en fonction deXn,AetB. En déduire que, pour toutn∈N^∗,

(3)

Xn=AⁿX0+

n−1

X

k=0

A^k

! B

2. Avec un logiciel de calcul, déterminerAⁿ. Réponse :Aⁿ=

1 0 1−(0,5)ⁿ 0,5n 1 0,5n

0 0 (0,5)ⁿ

! . 3. En déduire(aⁿ),(bⁿ)et(cⁿ)en fonction den. Étudier la convergence de la suite(Xⁿ)^n∈N;

III Puissances de matrices carrées d’ordre p

III.1 Puissances de matrices diagonales, matrices triangulaires

Consulter la leçon sur les matriceshttp://www.mimaths.net/spip.php?article611paragraphe II.3.

III.2 Puissances de matrices diagonalisables

Un nouveau terme qui prend une signification très précise dans le supérieur (Réduction des matrices carrées). Pour le lycée, il s’agira de vérifier par le produit matriciel qu’une matrice carrée est diagonalisable.

Définition 2 Une matrice carréeA d’ordre p(∈ Mp(R)) est dite diagonalisable s’il existe une matrice carrée P (∈ Mp(R)) inversible et une matrice carrée diagonaleD (∈ Mp(R)) telles que :

A=P DP⁻¹

Remarque 3 Toutes les matrices carrées ne sont pas diagonalisables.

Exemple 4 Prouver que l’existence des matrices P =

1 1 1 −1

et D =

1 0 0 0,8

, rendent la matrice A =

0,9 0,1 0,1 0,9

diagonalisable.

Propriété 1 Intérêt des matrices diagonalisables :

Si A=P DP⁻¹ alors Aⁿ=P DⁿP⁻¹

Démonstration :

Soit, pour tout entier natureln∈N, la propriétéP(n) :. . . ..

•Initialisation:

•Hérédité: Démontrons que pour toutn∈N^∗P(n) vraie impliqueP(n+ 1) vraie.

P(n) est vraie ⇔ . . . .

⇒ . . . .

⇔ . . . .

doncP(n+ 1) est vraie.

•Conclusion : Ainsi, d’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout entier natureln∈N^∗, Aⁿ=P DⁿP⁻¹.

(4)

III.3 Puissance d’une matrice carrée à l’aide d’une décomposition en matrice diagonale et triangulaire stricte

A travers un exemple :

SoitM =





2 0 1 0 2 1 0 0 2



.

ÉcrireM sous la formeD+T, oùD est une matrice diagonale et T une matrice triangulaire supérieure stricte.

CalculerT² et exprimerM² en fonction deT.

Montrer par récurrence que pour toutn∈N^∗, Mⁿ= 2ⁿIp+n2ⁿ⁻¹T

Remarque 4 Pour se faire plaisir ...

La formule dubinôme de Newton, utilisable pour les matrices qui commutent (produit matriciel fait dans le sens que l’on souhaite) donne :

Si AetB communtent, (A+B)ⁿ=

n

X

k=0

n k

A^kB^n−k

Appliquer la formule précédente pour calculer l’expression deMⁿ dans l’exemple précédent.