D1873 – To be or not to be
Existe-t-il un triangle ABC dont le périmètre est égal à 134 centimètres, le rayon du cercle inscrit est égal à 12 centimètres et le rayon du cercle circonscrit est égal à 27 centimètres ?
Solution proposée par Patrick Gordon
Rappelons les formules S, R, r dans le triangle _______________
S = √ p (p-a) (p-b) (p-c) (Heron) R = abc / 4S
r = S/p On a ici :
S = pr = 67 × 12 = 804
p (p-a) (p-b) (p-c) = 67 (67-a) (67-b) (67-c) = S² = 646416 abc = 4SR = 4×804×27 = 86832
Soit encore, en développant S² :
673 – 67² (a+b+c) + 67 (ab + bc + ca) – abc = 646416 / 67 673 – 67² × 134 + 67 (ab + bc + ca) – 86832 = 9648 D'où :
67 (ab + bc + ca) = 67² × 134 + 86832 + 9648 – 673 (ab + bc + ca) = 5929
Nous cherchons donc s'il existe 3 nombres réels positifs a, b, c qui satisfont 1) les 3 égalités :
(a+b+c) = 134 (ab + bc + ca) = 5929
abc = 86832
2) les inégalités du triangle.
Si ces 3 nombres existent, ils sont (condition 1) les racines de l'équation : (x – a) (x – b) (x – c) = x3 – x² (a+b+c) + x (ab + bc + ca) – abc = 0 c'est à dire de l'équation :
3) x3 – 134 x² + 5929 x – 86832 = 0
Voyons tout d'abord combien cette équation a de racines réelles car, si elle n'en a qu'une, le triplet a, b, c n'existe pas et la condition 2 ne se pose pas.
On sait que, pour qu'une équation cubique de la forme z3 + pz + q = 0 ait 3 racines réelles, il faut que son discriminant = – (4p3 + 27q²) soit > 0.
Il faut donc tout d'abord mettre l'équation (3) sous la forme z3 + pz + q = 0 par un changement de variable.
Soit donc : x = z + t. L'équation (3) s'écrit :
4) (z + t)3 – 134 (z + t)² + 5929 (z + t)– 86832 = 0 soit :
z3 + 3tz² + 3t²z + t3 – 134z² – 268 tz – 134t² + 5929z +5929t– 86832 = 0 Il faut choisir t tel que le terme en z² s'annule, soit :
t = 134/3
L'équation (4) s'écrit alors :
z3 + 3t²z + t3 – 268 tz – 134t² + 5929z +5929t– 86832 = 0 z3 + (3t²– 268 t + 5929) z + t3 – 134t² +5929t– 86832 = 0 Les termes p et q sont donc respectivement :
p = 3t²– 268 t + 5929 = – 56,333 q = t3 – 134t² + 5929t– 86832 = 0 = – 233,259
et le discriminant est :
= – (4p3 + 27q²) = – 753984 Il est < 0.
L'équation (3) n'a donc qu'une racine réelle et le triplet a, b, c n'existe pas.
