D1934 – Le triangle d’or
Dans un triangle ABC la bissectrice AD, la médiane BM et la hauteur CH sont concourantes.
Le cosinus de l’angle en A est l’inverse du nombre d’or. Que vaut l’angle ACB ? Solution par Patrick Gordon
Par le théorème de Ceva, on a :
HA / HB × DB / DC × MC / MA = 1 Mais MC / MA = 1 et DB / DC = AB / AC, donc :
HA / HB × AB / AC = 1 Soit :
HA.AB = HB.AC.
Or HA = AC cos A et HB = BC cos B.
Donc :
AB cos A = BC cos B Mais par ailleurs (loi des sinus) :
AB / sin C = BC / sin A
Donc AB cos A = BC cos B peut s'écrire : sin C cos A = sin A cos B
d'où :
tan A = sin C / cos B.
Mais on connaît cos A = (√5 – 1) / 2, d'où tan A = 1 / √[(√5 – 1) / 2]
Et comme B + C = π – A, on a tan (B + C) = – tan A.
D'où les deux équations en B et C :
tan (B + C) = – 1/√[(√5 – 1) / 2]
sin C / cos B = 1/√[(√5 – 1) / 2]
On peut résoudre ce système par itérations, mais une solution simple apparaît. En effet, si C = π/2, on a sin C = 1 et B = π/2 – A donc cos B = sin A.
La relation tan A = sin C / cos B devient alors :
tan A = 1 / sin A soit encore :
sin²A = cos A.
Donc cos A est racine de l'équation x² + x – 1 = 0, d'où cos A = (√5 – 1) / 2, ce qui est bien le A de l'énoncé.
La réponse est donc : L’angle ACB est droit.
