I151 : Le périple de Zig
Zig et Puce sont en deux points Z et P à l’intérieur d’un champ (bords et sommets exclus) qui a la forme d’un triangle équilatéral ABC de 350 mètres de côté. Zig décide de faire un trajet qui le mène
respectivement sur les bords BC, CA et AB du champ (sommets A, B et C exclus) puis il va à la rencontre de Puce avant de revenir à son point de départ. A l’issue de son périple qui est le plus court possible, la distance qu’il a parcourue est de 1275 mètres. Localiser les points Z et P dans le champ avec une approximation inférieure à un mètre sur chacune des positions de Z et de P.
Construisons D symétrique de C par rapport à AB, E symétrique de B par rapport à AD, et F symétrique de A par rapport à DE. On peut ainsi se faire correspondre la
succession des triangles ABC, ABD, AED et FED, et au point Z de ABC le point Z‘ de FED: au trajet de Zig correspond alors le trajet isométrique Z’R (R sur ED), RS (S sur AD), ST (T sur AB), TP, PZ. Pour P et Z (donc Z’) donnés la ligne brisée Z’RSTPZ sera de longueur minimale si RST sont alignés sur Z’P.
La plus grande distance entre un point de ABC et un point de DEF est observée entre C et F, et vaut a√7 (si a est le coté du triangle équilatéral). Le trajet de longueur maximale est donc obtenu pour Z en A (Z’ en F) et P en C, et vaut 350*(1+√7), soit à peine plus de 1276 m. Compte tenu que les angles en A et C de APZC sont inférieurs à 60°, nous avons (AZ+CP)/2<AC-ZP<AZ+CP et (AZ+FZ’)/2<AF-ZZ’<AZ+FZ’ soit AZ<AF-ZZ’<2AZ, donc (3AZ+CP)/2<AF+AC-(ZZ’+ZP)<3AZ+CP, donc 1<3AZ+CP<2; on est donc assuré que AZ est inférieur à 2/3, et CP inférieur à 2-3AZ: les points Z et P sont donc voisins de A et C.
