Le périple de Zig
Problème I151 de Diophante
Zig et Puce sont en deux points Z et P à l'intérieur d'un champ (bords et
sommets exclus) qui a la forme d'un triangle équilatéral ABC de 350 mètres de côté.
Zig décide de faire un trajet qui le mène respectivement sur les bords BC, CA et AB du champ (sommets A, B et C exclus) puis il va à la rencontre de Puce avant de revenir à son point de départ. A l'issue de son périple qui est le plus court possible, la distance qu'il a parcourue est de 1275 mètres.
Localiser les points Z et P dans le champ avec une approximation inférieure à un mètre sur chacune des positions de Z et de P.
Solution
Le schéma ci-dessous visualise le circuit le plus court que parcourt Zig, pour des places déterminées quelconques de Zig et Puce.
B
B A
A
C
C Z
aP Z
dIl s’agit de déterminer les points Z et P pour que ce circuit mesure 1275 mètres.
Pour cela il est nécessaire que Z soit très voisin de A et P très voisin de C. En effet, dans l’hypothèse Z = A et P = C, calculons ZdP = rac (8752 + 3*1752) = 926 m et PZa = 350 m et leur somme 1276 m.
Si on regarde à la loupe, on peut estimer Zig et Puce sont, à l’intérieur du champ, quasiment accoudés à la barrière, chacun dans son angle..
Le schéma ci-dessous visualise le circuit effectif que parcourt Zig.
Les points a et c sont au tiers de CB et AB et le point b est au milieu de AC.
Si on suppose que, régulièrement, Zig marche à 4,2 km / h, alors il lui faudra presque 18 mn pour rejoindre Puce.
De quoi je me mêle ?
