I151 Le périple de Zig
Solution proposée par Xavier Chanet :
Notons Z et P, Zig et Puce respectivement. Soient et Notons L(Z,P) la longueur du périple. On a alors:
L(Z,P) = long(ZUXYP)+ZP où long(ZUXYP) est la longueur de la ligne brisée ZUXYP Par conservation des distances d’une symétrie axiale, on a long(ZUXYP)= long(Z’UXTP’)
D’où L(Z,P) Z’P’ + ZP ( le chemin le plus « court » est la « ligne droite ») (on devrait dire d’après l’inégalité triangulaire !)
Or, on montre que donc
A C
B
D F
G E
Z P
U X
Y
Z' T
P'
Notons
A’ le point intérieur au triangle ABC appartenant à la médiatrice de [BC] et tel que AA’=1 m
C’ le point intérieur au triangle ABC appartenant à la médiatrice de [AB] et tel que CC’=1 m
A
C
B C'
A'
Si ou (disques de rayon 1) alors on montre que : ZP < 349,14 et Z’P’ < 924,38
Donc : L(Z,P) < 1273,52
On en déduit donc que : et .
A un mètre près, Zig est donc en A’ et Puce en C’
