G239. Le périple du cavalier

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G239. Le périple du cavalier

Un cavalier d’un jeu d’échecs est placé initialement sur une quelconque case d’un échiquier n x n avec n très grand. Il effectue un périple en se déplaçant en L, c’est-à-dire de deux cases dans une direction puis d'une perpendiculairement. Lorsque le cavalier effectue son kième déplacement (k = 0,1,2,..),chaque L comptant pour un déplacement, on repère toutes les cases, en nombre nk , qu’il est susceptible d’atteindre, exclusivement au cours de ce kième déplacement. Ainsi n₀ = 1 (la case de départ) et n₁ = 8 (qui exclut la case de départ). Après un petit nombre de déplacements, on constate que pour la première fois nk est un carré parfait.

Trouver k [**].

Le cavalier poursuit son périple. Existe-t-il une autre valeur de k telle que nk est à nouveau un carré parfait ? [****]

En étudiant les déplacements k=1, 2, 3 et 4, on constate que :

- les cases atteintes sont inscrites dans un hexagone de côté k+1 lui-même inscrit dans un carré de côté 4k+1 ;

- à compter du déplacement k=3, l’hexagone est rempli à raison d’une case sur deux.

k=3 n3 = 76 k=4 n4=129

C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C

C C C C C C C C C C C C C

C C C C C C C C C C C C C C C

C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C

C C C C C C C C C C C C C C C C C

C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C

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On en déduit la formule générale suivante de calcul du nombre de cases atteintes au kième déplacement (pour k>2):

nk = ((4k+1)-1)/2 x ((4k+1)+1)/2

+

si k pair : 2k+1 OU si k impair : 2k

-

si k pair : k² OU si k impair : k²-1

= 7k² + 4k + 1 que k soit pair ou impair

En calculant les premières valeurs, on trouve pour k=5 ; n5 = 196 = 14².

k nk=7k²+4k+1 rac(nk) 3 76 8,717797887 4 129 11,35781669

5 196 14

Existe-t-il d’autres valeurs de k telles que 7k² + 4k + 1 = N² ? avec N et k entiers 7k² + 4k + 1 = N² ↔ 7k² + 4k + 1 - N² = 0 ↔ k² + (4/7)k + 1/7(1 - N²) = 0 ↔ k =[

√

(7N² - 3) – 2 ] / 7

En utilisant un tableur, on trouve les valeurs suivantes :

k N² N

5 196 14

84 49729 223

1343 12630916 3554 21408 3208202881 56641 341189 8,14871E+11 902702

A partir des premières valeurs de k, on observe que le ratio entre les valeurs de k obtenues semble converger vers une valeur donnée :

k ratio

5

84 16,8

1343 15,9880952 21408 15,9404319 341189 15,9374533

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En appliquant le dernier ratio à la dernière valeur de k obtenue, on peut cibler les valeurs suivantes :

k ratio

5

84 16,8

1343 15,98809524 21408 15,94043187 341189 15,93745329 5437620 15,93726644 86660735 15,93725472 1381134144 15,93725398 22011485573 15,93725394