Enoncé J147 (Diophante) Le cheval errant
Un cheval est condamné à errer indéfiniment sur un échiquier (8×8) en sautant aléatoirement d’une case à une autre case accessible.
Au départ d’une case, toutes les cases accessibles en un saut (selon la marche du cavalier du jeu d’échecs) ont la même probabilité.
Calculer les proportions exactes du temps passé sur chaque case.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Numérotant les cases de 1 à c = 64, on peut définir pour chaque case i l’ensembleV(i) des numéros des cases accessibles en un saut depuis la case i, qui est aussi l’ensemble des numéros des cases d’où la case i peut être atteinte en un saut. Ceci vaut pour un ensemble quelconque de sauts, si un saut et le saut inverse sont également admissibles.
Après nsauts, la répartition des probabilités sur les cases est décrite par un c-upletp(n, j) (j = 1 àc). Au saut suivant, la probabilité de la casei résulte des sauts depuis les cases j ∈ V(i), la case i recevant la fraction 1/|V(j)| de la probabilité p(n, j), puisqu’il y a |V(j)| cases accessibles depuis la casej.
On a doncp(n+ 1, i) = X
j∈V(i)
p(n, j)
|V(j)|.
Cela montre que lec-upletp(n+ 1, i) est le produit duc-upletp(n, i) par une matrice de passage dont les coefficients de la ligne i sont 1/|V(j)| si j∈V(i), 0 si j6∈V(i).
La répartition-limite des probabilités correspond au vecteur propre de cette matrice associé à la valeur ptopre 1 (1 est toujours valeur propre, puisque 1 est la somme des coefficients de chaque colonne).
Ce vecteur propre ne demande pas de calcul matriciel laborieux : on ob- serve que si lesp(n, i) sont proportionnels aux|V(i|, il en est de même des p(n+ 1, i). D’où la solution
p(∞, i) = |V(i)|
P
j|V(j)|
qui vaut pour bien d’autres configurations que l’échiquier et bien d’autres règles de déplacement que la marche du cavalier.
Inscrivant dans chaque case le nombre |V(i| des cases accessibles en un saut, c’est aussi la proportion du temps passé dans cette case, multipliée par le coefficientPj|V(j)|.
(Voir tableaux pages suivantes)
Pour l’échiquier parcouru par le cavalier, on obtient 2 3 4 4 4 4 3 2 3 4 6 6 6 6 4 3 4 6 8 8 8 8 6 4 4 6 8 8 8 8 6 4 4 6 8 8 8 8 6 4 4 6 8 8 8 8 6 4 3 4 6 6 6 6 4 3 2 3 4 4 4 4 3 2 et le coefficient vaut 336.
On traite de même
• les mouvements de la Tour : proportion uniforme 1/64 car |V(i)|= 14 pour toutes les cases,
• les mouvements du Roi (coefficient 420) 3 5 5 5 5 5 5 3 5 8 8 8 8 8 8 5 5 8 8 8 8 8 8 5 5 8 8 8 8 8 8 5 5 8 8 8 8 8 8 5 5 8 8 8 8 8 8 5 5 8 8 8 8 8 8 5 3 5 5 5 5 5 5 3
•les mouvements du Fou errant sur les cases noires : Fou du Roi noir ou Fou de la Dame blanc (coefficient 280)
0 7 0 7 0 7 0 7
7 0 9 0 9 0 9 0
0 9 0 11 0 11 0 7
7 0 11 0 13 0 9 0
0 9 0 13 0 11 0 7
7 0 11 0 11 0 9 0
0 9 0 9 0 9 0 7
7 0 7 0 7 0 7 0
Pour le Fou errant sur les cases blanches : Fou du Roi blanc ou Fou de la Dame noir, remplacer ce tableau par son symétrique par rapport à une médiatrice du carré,
•les mouvements de la Dame (coefficient 1456) 21 21 21 21 21 21 21 21 21 23 23 23 23 23 23 21 21 23 25 25 25 25 23 21 21 23 25 27 27 25 23 21 21 23 25 27 27 25 23 21 21 23 25 25 25 25 23 21 21 23 23 23 23 23 23 21 21 21 21 21 21 21 21 21
