I Saut à l’élastique

Conservez seulement de quoi écrire et une calculatrice : pas de téléphone, de Wolfram Alpha, de Wikipedia…

Si vous ne comprenez pas une notation, une question, ou si vous pensez avoir découvert une erreur d’énoncé, signalez-le immédiatement.

Problème 1 : Bungee the Vampire Slayer

Dans la série « Buffy the Vampire Slayer » (voir ci-contre^a), l’héroïne éponyme, qu’on désignera dans la suite par « la Tueuse » doit régulièrement affronter des vampires. On étudie les possibilités qu’offre l’utilisation de la technique du saut à l’élastique.

Données :Longueur au repos`0=50 m ; masse de la tueusem=50 kg ; accélé- ration de la pesanteurg=9,8 m·s⁻²; coefficient de frottementβ=27 g·m⁻¹

aethttps://www.youtube.com/watch?v=5-xnvdtuRRopour l’ambiance musicale

Fig. 1 : La tueuse avant un coup fatal…

I Saut à l’élastique

La tueuse se lâche dans cette section sans vitesse initiale du pointOreprésenté dans la figure suivante. On modélise la corde par un fil sans masse :

• de longueur à vide notée`0,

• exerçant une force nulle tant qu’elle n’est pas tendue

• exerçant, quand il est tendu, une force de rappel caractérisée par une constante de raideur notéek.

On néglige tout frottement dans cette partie M

0

`0

y(M) y

#»g

I.1. (a) Rappeler l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur et de l’énergie potentielle de la corde quand elle est tendue.

(b) En déduire une expression de l’énergie potentielle associée au mouvement vertical de la tueuse en fonction dey, orienté selon la verticale descendante. Tracer son allure.

(c) Calculer la constante de raideurkpour que la hauteur totale de chute soith= 2`0. On gardera cette condition dans toute la suite pour simplifier les expressions.

(d) Établir l’expression de la vitesse en fonction de l’altitudey, notéev0(y), toujours pourh= 2`0.

(e) Déterminer l’expression et calculer la valeur maximale dev0(y)atteinte au cours du mouvement.

(f) Décrire succinctement la suite du mouvement, on précisera en particulier la hauteur maximale atteinte.

I.2. On évalue dans cette question l’effet des frottements dus à l’air. On les modélise par une force d’inten- sité :

F_f =βv², (1)

avecvla norme de la vitesse etβune constante positive.

(a) Déterminer l’expression et la valeur de la vitesse maximale qui pourrait être atteinte par la tueuse au cours d’une chute de hauteur infinie sans corde. Commenter.

(b) On suppose que les frottements avec l’air ne modifient que peu le mouvement. Déterminer l’ex- pression et calculer la valeur du travail de la force de frottement dey=`0ày= 2`0en faisant l’hypothèse que la vitesse enyen présence des frottements est peu différente dev0(y).

(c) En déduire une estimation de la valeur de la nouvelle hauteur de chute. Est-ce une estimation par excès ou par défaut ?

II Balancier

On néglige dans toute la suite les frottements avec l’air.

Pour triompher d’un redoutable vampire millénaire nommé « le Maître » situé à l’aplomb du pointOày = 2`0 (pointV), la tueuse doit l’atteindre avec une vitesse suffisante pour lui porter un coup efficace. Elle décide donc de s’élancer, sans vitesse initiale, du plany= 0en ayant au préalable tendu la corde jusqu’à

`= 2`0(pointT).

Fig. 2 : Le Maître, confiant.

On repère sa position au cours de son mouvement ultérieur par les coordonnées polaires(r;θ)

II.1. Établir l’expression de l’énergie potentielle en fonction deretθ.

II.2. On ne cherchera pas par la suite à établir les équations horaires.

(a) Déterminer l’expression et calculer la vitesse de la tueuse au pointV si elle parvient à l’atteindre.

(b) Déterminer l’expression et calculer la vitesse maximale qu’elle peut atteindre en un point de coordonnéeθ= 0. Quelle doit être la valeur der en ce point ?

(c) Craignant pour sa « vie », le Maître s’enfuit selon la directione# »x. À quelle distance doit-il s’éloigner pour être certain de ne pas être atteint.

T 2`

0

2`

V r

M

#» θ e

III Répulsion

Comme toute tueuse, Buffy porte une croix en argent, qui repousse les vam- pires. Dans le cas du Maître cette répulsion se traduit par une force répul- sive entre la tueuse et le vampire. La force subie par la tueuse est notéeF#»r, donnée par :

F#»r= γ T V²

#»eV→T, (2)

avecγune constante positive etT V la distance séparant la tueuse du vam-

pire. x

0 T

`₀ 0

2`₀

hV

V

Dans toute la suite, le Maître est immobile à la distance2`0+hvà l’aplomb du pointO(voir la figure). La tueuse est initialement maintenue immobile par ses acolytes au point de coordonnées(x=−`0, y= 2`0) et s’est munie de patins à roulettes pour se déplacer sans frottement le long de l’axex.

III.1. Afin d’augmenter les dégâts qu’elle causera, elle s’est chargée d’une masse∆m. Calculer la valeur minimale, notée∆m0, pour qu’elle ne décolle pas de l’axey= 2`0à l’instant où ses acolytes la lâchent.

On pourra supposer qu’on peut négliger à cette distance la force de répulstion du Maître. On suppose par la suiteⁱqu’elle ne décollera pas au cours de son mouvement ultérieur : son mouvement sera donc unidimensionnel selone# »x.

III.2. Déterminer une expression de l’énergie potentielle associée à la force de répulsionF#»r.

(a) Justifier que le pointx= 0est une position d’équilibre et étudier sa stabilité. On fera apparaître un critère dépendant entre autres des constantesγethV.

iBien que la répulsion du Maître puisque changer influer

(b) Dans le cas où l’équilibre enx= 0est stable, déterminer l’expression de la durée entre deux coups qu’elle pourra porter en se laissant osciller de part et d’autre du maître si son mouvement est de faible amplitude.

(c) Déterminer toutes les positions d’équilibre dans le cas où celui enx = 0est instable et étudier, sans calcul, leur stabilité.

Problème 2 : Calutron

L’enrichissement de l’uranium a pour but d’élever la teneur en²³⁵U du minerai d’uranium. On étudie un dispositif appelé Calutron, employé à cet effet pendant la deuxième guerre mondiale. Il se compose :

• d’une chambre d’ionisation (nom représentée sur le schéma) dans laquelle des atomes d’uranium²³⁵₉₂U et²³⁸₉₂U de masses respectivement notéesm235etm238sont ionisés en ions U⁺. Elle débouche au point F1.

• la chambre d’accélération dans laquelle les ions sont accélérés entreF1etF2sous l’action d’une diffé- rence de potentielUentre les deux grillesP1etP2.

• la chambre de déviation dans laquelle les ions sont déviés par un champ magnétique uniformeB#»de directione#»z. Un collecteur d’ions est placé au pointO, mobile selone# »x.

F

F

d U

e #»

e #»

e #»

`

B # »

B # »

O

`

P

P

Fig. 3 : Chambres d’accélération et de déviation d’un calutron.

L’ensemble est sous vide et on négligera le poids des ions devant les autres forces. On considérera dans un premier temps que leur vitesse est nulle quand ils parviennent à la fenteF1et que le champ magnétique dans la chambre d’accélération est nul.

Données :

• charge élémentaire e = 1,6·10⁻¹⁹C ; masse d’un nucléon 1,67·10⁻²⁷kg ; nombre d’Avogadro 6,02·10²³mol⁻¹;

• énergie cinétique des ions enF2:E_c=15 keV ; intensité du courant du faisceau émisI=100 mA ;

• largeur de la fente en0:`=4,0 mm, distanceF2O:D=940 mm ; longueur de la chambre d’accéléra- tiond=15,0 cm.

I Accélération des ions

I.1. Quel doit être le signe de la tensionUpour que les ions soient accélérés entreF1etF2?

I.2. L’énergie cinétique acquise par les ions enF2est 15 keV. En déduire la valeur de la tensionUappliquée entre les deux grilles. Calculer numériquement les vitesses notéesv1etv2des ions²³⁵₉₂U et²³⁸₉₂U. Sont-ils relativistes ?

II Déviation des ions

II.1. (a) Quel doit être le sens du champ magnétiqueB#»2régnant dans la chambre de déviation pour que les ions puissent atteindre le collecteur ?

(b) Montrer que le mouvement des ions est circulaire uniforme, on précisera en particulier les expres- sions et les valeurs des rayons, notésR235etR238.

II.2. (a) Quelle doit être la valeur du champ magnétiqueB2pour qu’on recueille l’isotope²³⁵₉₂U enOsi la distanceD=F2OvautD=940 mm.

(b) Quelle relation doivent vérifier les longueurs`2et`pour qu’aucun isotope²³⁸₉₂U n’atteigne le dé- tecteur ?

II.3. La source est alimentée en uranium contenant 0,7% de²³⁵₉₂U et 99,3% d’uranium²³⁸₉₂U. Quelle quantité de l’isotope 235 le Calutron peut-il isoler en une année de fonctionnement continue si l’intensité du faisceau utilisé estI=100 mA ?

III Vitesse initiale non nulle

On étudie dans cette section les conséquences d’une vitesse non nulle enF1. On ne s’intéresse qu’aux ions

23592U. On suppose qu’ils possèdent tous enF1une vitesse de normev⁰₀, de direction aléatoire.

III.1. (a) On considère un ion dont le vecteur vitesse forme l’angleαavec le vecteure#»yenF1, déterminer sa position quand il arrive dans le planP2. Déterminer également l’angle que forme alors son vecteur vitesse avece#»y.

(b) En déduire la largeur de la tâche de l’ensemble du faisceau dans le planP2si la fente enF1a pour largeur`, ainsi que le demi-angle au sommet du cône du faisceau émergent de la fenteF2. Calculer ces valeurs pourv⁰₁ =v1/1000,d=15 cm et pour un demi-angleα_maxau sommet du cône dans lequel sont émis les protons enF1égal àα_max=10°.

III.2. On étudie l’effet d’un champ magnétique résiduelB# »1=B1e#»ydans la zone d’accélération.

(a) Déterminer le mouvement d’un ion dont le vecteur vitesse forme l’angleαavec le vecteure#»yen F1.

(b) Pour quelles valeurs deB1émergera-t-il au centre de la fenteF2?

IV Défauts de collimation dans la zone de déviation

On étudie dans cette section les conséquences d’une vitesse non colinéaire àe#»yenF2. On ne s’intéresse qu’aux ions²³⁵₉₂U émis par le centre de la fente . On suppose qu’ils possèdent tous enF1une vitesse de normev0, dont la direction est caractérisée par les anglesα∈[0;π/2]etϕ∈[−π;π]définis par :

#»v =v0(cos(α)e#»y+sin(α)cos(ϕ)e# »x+sin(α)sin(ϕ)e#»z). (3) IV.1. On considère dans cette question queϕ= 0.

(a) Déterminer la trajectoire de l’ion dans la zone de déviation.

(b) En déduire la valeur maximale deαpour que l’ion soit reçu par le détecteur de largeur`. Dire sans calcul ce qu’il en est pourϕ=π.

IV.2. On considère maintenant queϕest quelconque.

(a) Déterminer la position du point d’impact de la trajectoire dans le plan perpendiculaire àe#»ypassant parO.

(b) La figure ci-contre donne les points d’impact (les coordonnées sont données par rapport au point O) pourϕquelconque et pour quelques valeurs de l’angleα.

i. Lire sur la courbe la valeur maximale deα utilisée. Commenter l’allure de la variation de la largeur des zones d’impacts représen- tés avec la valeur deα. On pourra utiliser des développements limités pourα1.

ii. Comparer à la taille`de la fente et commen- ter.

−5 −4 −3 −2 −1 0

·10⁻³

−0,2

−0,1 0 0,1 0,2

x/R₂₃₅ z/R235

Fig. 4 : Positions des points d’impact par rapport au pointOpour différentes valeurs deαet pour ϕ∈[−π;π].

Problème 3 : Étude de pigments utilisés en peinture

Les pigments utilisés en peinture ont longtemps été des minéraux. On en étudie certains dans ce problème.

Les mesures sont toutes réalisées à 25 °C. Les potentiels sont mesurés par rapport à l’électrode standard à hydrogène. On utilisera, à cette température, l’approximation :

RT

F ln(x) =0,06 V log(x),

avecFla constante de Faraday,Rla constante des gaz parfaits etT=298 K.

Les différentes parties sont indépendantes.

Données :

potentiels standard : E^◦(Fe²⁺/Fe) =−0,44 V ;E^◦(Fe³⁺/Fe²⁺) =0,77 V.

produits de solubilité :

• Bleu de Prusse :[Fe(CN)₆]3Fe₄formé par réaction de Fe³⁺avec[Fe(CN)₆]⁴⁻: Ks1=3,2·10⁻⁴¹;

• jaune : PbCrO_4(s) Pb²⁺+ CrO₄^2–: Ks2=1·10⁻¹³;

• rose : MnS_(s) Mn²⁺+ S^2–: Ks3=1·10^−9,6;

• noir : PbS_(s) Pb²⁺+ S^2–: Ks4=1·10^−27,8; constantes de dissociation :

• Fe(CN)₆^3– Fe³⁺+ 6 CN^–: K_d1=1·10⁻⁴²;

• Fe(CN)6^4– Fe²⁺+ 6 CN^–: Kd2=1·10⁻³⁵; constantes d’acidité :

• HCN + H₂O CN^–+ H₃O⁺:Ka1=6,3·10⁻¹⁰;

• HCrO₄^–+ H₂O CrO₄^2–+ H₃O⁺:K_a2=1·10^−6,4.

masses molaires atomiques : M(H) = 1 g·mol⁻¹;M(C = 12 g·mol⁻¹);M(N) = 14 g·mol⁻¹; M(O) =16 g·mol⁻¹;M(Pb) =207g·mol⁻¹.

I Pigment bleu

Le bleu de Prusse est un précipité[Fe(CN)₆]3Fe_4(s)obtenu par réaction de Fe(CN)₆^4–sur Fe³⁺selon : 3 Fe(CN)₆^4–+ 4 Fe³⁺ [Fe(CN)₆]3Fe_4(s)

On s’intéresse à la chimie des espèces utilisées pour sa synthèse.

I.1. Quelle est la valeur du potentiel d’une électrode de platine plongeant dans une solution dans laquelle les concentrations initiales en ions Fe sont :c_Fe2+=c_Fe3+=1,0 mol·L⁻¹?

I.2. Quelle est la valeur du potentiel d’une électrode de fer plongeant dans cette même solution ? I.3. Pour quelles valeurs du pH HCN est-il négligeable par rapport à CN^–? On se place dans cette condition

par la suite. Quel est alors le potentiel standard du couple(Fe(CN)₆^3–/Fe(CN)₆^4–)?

I.4. À une concentration de 1,0·10⁻²mol·L⁻¹, [Fe(CN)₆]^4–est-elle une espèce dangereuse sachant que la limite légale admissible en ions cyanure CN^–est de 1 µg·L⁻¹?

I.5. Une personne a ingéré du CN^–. On cherche à la traiter avec une solution contenant des ions Fe²⁺ou Fe³⁺.

(a) Lequel est le plus efficace à concentration égale pour diminuer la quantité de CN^–libre ? (b) La personne a initialement une concentration en CN^–libre égale à3fois la dose admissible. À

quelle concentration doit-on lui administrer des ions Fe pour faire baisser cette concentration en dessous de la dose admissible ?

II Pigment jaune

Le « jaune de chrome » est obtenu par action du chromate CrO₄^2–sur une solution contenant des ions Pb²⁺. Par précipitation dans l’eau, on obtient PbCrO_4(s).

II.1. Dans quel domaine de pH doit-on opérer pour que CrO₄^2–soit prépondérant ?

II.2. Après précipitation, on filtre le mélange. On lave ensuite le PbCrO_4(s)avec une eau à pH= 7. Quelle est la teneur en ions Pb²⁺de cette eau ? Dépasse-t-elle la norme légale de 50 µg·L⁻¹en ions plomb ? II.3. Dans les ouvrages de peinture, on déconseille de mélanger le jaune de chrome et le sulfure de manga-

nèse rose, ce qu’on pourrait être tenté de faire pour obtenir une teinte couleur chair. Justifier en calculant la constante de la réaction susceptible de se produire.

III Pigments blancs

On peut utiliser ZnO_(s)ou TiO_2(s)comme pigment blanc.

On donne ci-dessous les diagrammes de Pourbaix des éléments Zn et Ti dans l’eau à 25 °C. Les concen- trations totales des espèces solubles sont égales àc=1·10⁻²mol·L⁻¹, avec équirépartition de l’élément considéré, aux frontières. Les droites limitant les domaines de réduction et d’oxydatoin de l’eau y sont no- téesaetbrespectivement.

III.1. (a) Identifier les espèces chimiques des zones1à7du diagramme de Ti sachant qu’on considère Ti_(s), Ti²⁺, Ti(OH)_3(s), TiO_3(s), Ti³⁺, TiO_2(s)et TiO_(s).

(b) Retrouver par le calcul la pente de la frontière entre les zones2et4.

III.2. (a) Les pigments ZnO et TiO_2(s)sont-ils stables dans l’eau ?

(b) On utilisait principalement ZnO_(s)jusqu’en 1920 quand il a été remplacé par TiO_2(s). Justifier que l’utilisation d’un acide fort comme l’acide nitrique permet de dater un tableau en distinguant quel pigment blanc est utilisé.

(c) Quelle réaction peut-on envisager si on utilise une spatule en Zn pour peindre avec un pigment blanc TiO₂. Calculer sa constante.

Fig. 5 : Diagramme de Pourbaix de Zn Fig. 6 : Diagramme de Pourbaix de Ti. Les espèces considérées sont Ti_(s), Ti²⁺, Ti(OH)_3(s), TiO_3(s), Ti³⁺, TiO_2(s)et TiO_(s).