J123 – Les parcours du cavalier et du kangourou sur un échiquier [**** à la main]
Ce problème a été suggéré par Sébastien Long. Tous nos remerciements d’avoir songé au kangourou pour nous faire découvrir son parcours sur un échiquier.
La parcours du cavalier sur un échiquier est un problème très classique qui a été
abondamment analysé depuis Euler. Rappelons que ce problème consiste à déterminer le chemin d’un cavalier qui passe par toutes les cases d’un échiquier 8x8 une fois et une seule.
On dit alors que le cavalier a réalisé un parcours complet.
Dans cette rubrique, on va s’intéresser non seulement au parcours complet du cavalier mais aussi à celui du kangourou qui peut sauter deux cases verticalement ou horizontalement ou bien sauter une case en diagonale.
Un exemple d’un début de parcours du kangourou est donné ci-après avec une numérotation séquentielle des cases successivement visitées par le kangourou. Celui-ci part de la case numérotée 1 située au coin supérieur gauche de l’échiquier :
On trouvera sur le site fort bien fait de D. Legland la page
http://membres.lycos.fr/dlegland/kangourou/kangourou.htm qui permet de simuler en temps réel le parcours du kangourou sur un échiquier 10x10.
1) Quel est le plus petit échiquier n x n sur lequel le parcours complet du cavalier est possible ? du kangourou ?
2) Sur ce plus petit échiquier, est-il possible de revenir au point de départ à la fin du parcours du cavalier ? du kangourou ?
3) Etablir un parcours complet du cavalier et un parcours complet du kangourou sur un échiquier 10 x 10.
Solution
1) Le plus petit échiquier sur lequel le parcours complet du cavalier comme celui du kangourou sont possibles est de dimension 5x5. Il est facile de vérifier que pour toutes
les dimensions inférieures on aboutit très rapidement à des culs-de-sac sans avoir parcouru la totalité des cases de l’échiquier.
Les cases de départ sont numérotées 1 sur fond vert puis les sauts successifs sur les différentes cases de l’échiquier sont repérés par des numéros d’ordre 2,3,4,… jusqu’au numéro 25 sur fond jaune qui correspond à la dernière case.
2) Sur l’échiquier du cavalier, il est impossible de revenir à la case de départ. A l’inverse avec l’échiquier du kangourou Christain Tourvieille démontre que c’est possible.
3) La particularité du parcours du kangourou sur l’échiquier 5x5 qui vient d’être décrite au §2 permet de réaliser rapidement un parcours sur un échiquier 10x10 en juxtaposant 4 échiquiers 5x5 comme le montre le diagramme ci-après . Les 4 échiquiers ont des contours extérieurs respectivement noir, rouge, vert et mauve. Les cases de départ à l’intérieur de chacun d’eux sont 1,26,51 et 76 et les cases d’arrivée 25,50,75 et 100.
CAVALIER 5 x 5 KANGOUROU 5 x 5
6 17
13 19
3 12 16
24
18
10 2
23
8 21
5 14
5
9 1
25
22 11
15
7 20
4
3 10 21 16
17
20 15 4 11 22
9 2 25 6
7
14 19 8 23 12
1 24 13 18
S’agissant du cavalier, il n’y a pas de réplication possible et la recherche du parcours est donc moins aisée. Une méthode pour l’obtenir consiste à partir d’un sommet et à passer au peigne fin toutes les cases situées sur la bordure extérieure et de largeur 2. Près des deux tiers du parcours sont ainsi réalisés. On pénètre ensuite à l’intérieur de l’échiquier pour parachever la course du cavalier. D’où le diagramme suivant :
PARCOURS DU KANGOUROU 10 x 10
5 18
76 25 17 14
95 79 86 92
69 56 63 70 57 27 43 37 27 44
53 66 74 54 65 35 30 46 41 31
62 71 58 61 72 48 39 33 49 38
88 99 83 89 98 22 11 8 21 12
81 91 96 80 85 15 4 24 16 3
94 78 87 93 77 7 20 13 6 19
68 55 64 67 75 26 42 36 29 45
52 60 73 51 59 34 50 47 40 32
82 90 97 100 84 9 1 23 10 2
PARCOURS DU CAVALIER 10 x 10
42 59
9 24
38 55 6 21 40 57 8 23
60 43
5 20 39 56 7 22 41 58
25 10
54 37 70 81 90 83 72 75
44 61
19 4 89 96 71 74 91 84
11 26
36 53 80 69 82 97 76 73
62 45
3 18 95 88 99 68 85 92
27 12
52 35 100 79 94 87 98 77
46 63
17 2 33 50 67 78 93 86
13 28
34 51 16 31 48 65 14 29
1 32 49 66 15 30 47 64
