J139. Sur un échiquier infini
Problème proposé par Michel LafondSur un échiquier infini, il y a le roi noir, le roi blanc et deux tours blanches.
Le roi noir n’est pas en échec. C’est aux Blancs de jouer. Montrer que les Blancs peuvent mater.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
Les Blancs peuvent aisément parvenir à une situation qui, modulo rotations et/ou symétrie, se présente sous la forme :
et maintenant le roi blanc va s’approcher (en verticale) au roi noir, parvenant à une des situations :
Toutefois on voit aisément que, déplaçant les deux tours vers la droite, le premier cas se ramène au cas « miroir » du second ; on va donc s’occuper du second.
Remarque La chose est possible aussi lorsque les rois sont sur deux colonnes très voisines car, comme on va détailler plus loin, le roi noir doit éviter de se mettre « en opposition »
Encore on doit distinguer deux cas, suivant que c’est au Blancs ou aux Noirs de jouer ; la stratégie gagnante demande que, lorsque c’est au Noirs de jouer, il faut que les rois se trouvent sur deux cases de couleurs différentes. Le cas de la figure est donc bon si c’est aux Noirs de jouer ; en cas contraire les deux premiers coups des Blancs seront déplacer le roi d’abord vers Nord-Est, ensuite vers Sud ; on vérifie sans peine que la bonne situation est ainsi rétablie.
Maintenant le roi blanc se rapproche au roi noir qui, à son tour, doit se promener dans son couloir ; on va montrer que, lorsque le roi blanc approche, ce couloir devient au fur et à mesure plus court.
En fait le couloir est évidemment borné à la gauche par les deux tours ; un peu moins évident est le fait qu’il est borné à la droite par le roi blanc. En fait si, le roi noir essayait de sortir de cette partie du couloir, il serait forcé de se mettre en opposition, comme montré ci-dessous où (à la gauche) c’est aux Noirs de jouer, donc les rois sont sur deux cases de couleur différente :
Dans la figure de droite les rois sont en opposition, et tout joueur voit bien que la tour du haut peut mater en une.
La fin de l’histoire devrait être claire : à un moment donné le couloir du roi noir est devenu si court que le roi ne peut pas éviter de se mettre en opposition et les Blancs matent :
Remarque Les figures ont été construites par opérations copier-coller à partir des images fournies dans règles du jeu d'échecs
