J159 – L’échiquier nouveau [*** à la main]
Problème proposé par Raymond Bloch
Les cases d’un échiquier n x n contiennent 2021 jetons. Les nombres de jetons de deux cases voisines – par une arête commune – diffèrent de 1 exactement. Certaines cases peuvent être vides. Quelle est la plus grande valeur possible de n ?
Solution proposée par Daniel Collignon
Les cases blanches et noires portent {0,1} (mod 2).
Un échiquier 64x64 génèrera donc au moins 64²/2=2048 > 2021, d'où n=<63.
Avec un échiquier 63x63, nous pouvons atteindre le total de 2021 jetons de la façon suivante.
On part d'un échiquier avec 1985 "1" (les 4 coins portent un "1") :
10…101 01…010
… 10…101
Il suffit alors de changer 18 "0" en "2" (n'importe lesquels puisque tout "0" a pour voisin que des "1"), ce qui ajoute 36, d'où 1985+36=2021