J154. Un échiquier sous contrôle ***
Sur un échiquier 10 x 10, on place sept Dames de sorte qu’elles
contrôlent comme au jeu d’échecs la totalité des cases. Déterminer la dimension du plus grand carré que l’on peut tracer à l’intérieur de l’échiquier et qui ne contient aucune Dame.
Nota : au jeu d’échecs une Dame contrôle toutes les cases de la ligne horizontale, de la ligne verticale et de la ou des deux diagonale(s) à 45° qui passent par la case qu’elle occupe.
Solution proposée par Jean Nicot
1- Si on autorise que deux dames soient mutuellement en prise, il suffit de 6 dames pour contrôler toutes les cases et obtenir un carré sans dames 6x6, à l’extérieur duquel on peut placer n’importe où la 7ème dame.
8 x o x o o o o o
7 o x o o o o o o
6 o o o o o o x o
5 o o o o o o o o
4 o o o o o o o o
3 o o o o o o o o
2 o o o o o o o x
1 o o o o o o x o
a b c d e f g h
2- Si on n’autorise pas les prises mutuelles de deux dames : Supposons qu’il existe un carré 5x5 sans dames. Il reste alors 3 colonnes et 3 rangées entièrement disponibles pouvant accueillir chacune une dame. La septième dame doit se trouver dans une des 4 cases intersections des 2 rangées et 2
colonnes sans dame, mais ces cases sont dans la zone 5x5 envisagée.
Il est aisé de trouver une configuration avec une zone 4x4 et même 5x4 sans dames.
8 o x o o o o o o
7 o o o o o o o o
6 x o o o o o o x
5 o o o o o o o o
4 o o o o x o o o
3 o o x o o o o o
2 o o o o o o x o
1 o o o x o o o o
a b c d e f g h
