I157. Crescendo sur l'échiquier
Problème proposé par Michel Lafond
Placer aux centres de n cases d’un échiquier 8 x 8, n points M
1, M
2, M
3... M
nde telle sorte que la suite des distances M
iM
i+1pour i = 1, 2, ...., n-1 soit strictement croissante.
Bien entendu n doit être maximal.
Généralisation avec un échiquier k x k, k >8.
Je suis parti sur l'idée que la distance entre deux points était régie par Pythagore, donc de la forme pour un échiquier ݊ x ݊ :
݀ = ට൫ݔ
− ݔ
൯
ଶ+ ൫ݕ
− ݕ
൯
ଶOù ݔ
, ݔ
, ݕ
, ݕ
sont des entiers ≤ ݊ .
La calculatrice donne le tableau suivant, qui précise les distances possibles, donc le nombre maximum de points que l'on peut mettre dans un échiquier ݊ x ݊ :
݊ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 et +
Nombre de
points possibles 3 6 10 15 20 27 34 42 51
1* * = Point
initial 2 1.000 (0,1) 1.000 (0,1) 1.000 (0,1) 1.000 (0,1) 1.000 (0,1) 1.000 (0,1) 1.000 (0,1) 1.000 (0,1) 1.000 (0,1)
3 1.414 (1,1) 1.414 (1,1) 1.414 (1,1) 1.414 (1,1) 1.414 (1,1) 1.414 (1,1) 1.414 (1,1) 1.414 (1,1) 1.414 (1,1) 4 2.000 (0,2) 2.000 (0,2) 2.000 (0,2) 2.000 (0,2) 2.000 (0,2) 2.000 (0,2) 2.000 (0,2) 2.000 (0,2) 5 2.236 (1,2) 2.236 (1,2) 2.236 (1,2) 2.236 (1,2) 2.236 (1,2) 2.236 (1,2) 2.236 (1,2) 2.236 (1,2) 6 2.828 (2,2) 2.828 (2,2) 2.828 (2,2) 2.828 (2,2) 2.828 (2,2) 2.828 (2,2) 2.828 (2,2) 2.828 (2,2)
7 3.000 (0,3) 3.000 (0,3) 3.000 (0,3) 3.000 (0,3) 3.000 (0,3) 3.000 (0,3) 3.000 (0,3)
8 3.162 (1,3) 3.162 (1,3) 3.162 (1,3) 3.162 (1,3) 3.162 (1,3) 3.162 (1,3) 3.162 (1,3)
9 3.606 (2,3) 3.606 (2,3) 3.606 (2,3) 3.606 (2,3) 3.606 (2,3) 3.606 (2,3) 3.606 (2,3)
10 4.243 (3,3) 4.000 (0,4) 4.000 (0,4) 4.000 (0,4) 4.000 (0,4) 4.000 (0,4) 4.000 (0,4)
11 4.123 (1,4) 4.123 (1,4) 4.123 (1,4) 4.123 (1,4) 4.123 (1,4) 4.123 (1,4)
12 4.243 (3,3) 4.243 (3,3) 4.243 (3,3) 4.243 (3,3) 4.243 (3,3) 4.243 (3,3)
13 4.472 (2,4) 4.472 (2,4) 4.472 (2,4) 4.472 (2,4) 4.472 (2,4) 4.472 (2,4)
14 5.000 (3,4) 5.000 (0,5) 5.000 (0,5) 5.000 (0,5) 5.000 (0,5) 5.000 (0,5)
15 5.657 (4,4) 5.099 (1,5) 5.099 (1,5) 5.099 (1,5) 5.099 (1,5) 5.099 (1,5)
16 5.385 (2,5) 5.385 (2,5) 5.385 (2,5) 5.385 (2,5) 5.385 (2,5)
17 5.657 (4,4) 5.657 (4,4) 5.657 (4,4) 5.657 (4,4) 5.657 (4,4)
18 5.831 (3,5) 5.831 (3,5) 5.831 (3,5) 5.831 (3,5) 5.831 (3,5)
19 6.403 (4,5) 6.000 (0,6) 6.000 (0,6) 6.000 (0,6) 6.000 (0,6)
20 7.071 (5,5) 6.083 (1,6) 6.083 (1,6) 6.083 (1,6) 6.083 (1,6)
21 6.325 (2,6) 6.325 (2,6) 6.325 (2,6) 6.325 (2,6)
22 6.403 (4,5) 6.403 (4,5) 6.403 (4,5) 6.403 (4,5)
23 6.708 (3,6) 6.708 (3,6) 6.708 (3,6) 6.708 (3,6)
24 7.071 (5,5) 7.000 (0,7) 7.000 (0,7) 7.000 (0,7)
25 7.211 (4,6) 7.071 (1,7) 7.071 (1,7) 7.071 (1,7)
26 7.810 (5,6) 7.211 (4,6) 7.211 (4,6) 7.211 (4,6)
27 8.485 (6,6) 7.280 (2,7) 7.280 (2,7) 7.280 (2,7)
28 7.616 (3,7) 7.616 (3,7) 7.616 (3,7)
29 7.810 (5,6) 7.810 (5,6) 7.810 (5,6)
30 8.062 (4,7) 8.000 (0,8) 8.000 (0,8)
31 8.485 (6,6) 8.062 (1,8) 8.062 (1,8)
32 8.602 (5,7) 8.246 (2,8) 8.246 (2,8)
33 9.220 (6,7) 8.485 (6,6) 8.485 (6,6)
34 9.899 (7,7) 8.544 (3,8) 8.544 (3,8)
35 8.602 (5,7) 8.602 (5,7)
36 8.944 (4,8) 8.944 (4,8)
37 9.220 (6,7) 9.000 (0,9)
38 9.434 (5,8) 9.055 (1,9)
39 9.899 (7,7) 9.220 (2,9)
40 10.000 (6,8) 9.434 (5,8)
41 10.630 (7,8) 9.487 (3,9)
42 11.314 (8,8) 9.849 (4,9)
43 9.899 (7,7)
44 10.000 (6,8)
45 10.296 (5,9)
46 10.630 (7,8)
47 10.817 (6,9)
48 11.314 (8,8)
49 11.402 (7,9)
50 12.042 (8,9)
51 12.728 (9,9)
