E5903 – Le coût minimal [*** à la main]
Cent cartes numérotées de 1 à 100 sont alignées dans cet ordre sur une même rangée.
La permutation de deux cartes adjacentes coute un euro tandis que la permutation de deux cartes avec exactement k cartes placées entre elles est gratuite.
Déterminer le coût minimal du classement des cartes dans l’ordre inverse de 100 à 1 avec : a) k = 3
b) k = 4.
Solution
k = 3: on raisonne avec 8 cartes sachant que l'extrapolation à 100 cartes se fait sans difficultés.
On colorie le long d'un cercle des cases numérotées de 1 à 8 en "rouge, jaune, bleu, vert, rouge, jaune, bleu, vert". Au départ les cartes n°1 à 8 sont placées dans les cases n°1 à 8.
On constate d'abord que les règles de permutation ont les mêmes effets en termes de coûts que les cartes soient placées sur une rangée ou le long de la circonférence du cercle. En effet le long du cercle la
permutation entre les cartes 1 et 8 est immédiate. Avec les cartes placées sur une rangée, 1 va en position 5 gratuitement et 8 en position 4 gratuitement. D'où la permutation 4/5 et on reprend les chemins de l'aller pour placer 8 en position 1 et 1 en position 8.
On permute les deux couples de cartes placées dans les cases "rouge/vert" pour un coût de 2 € et les cartes placées dans les cases "jaune/bleu" pour le même coût. Les permutations qui permettent d'obtenir "in fine"
l'ordre 8,7,6,...,2,1 sont gratuites.
Total 4 € soit 2 € par paquet de 4 cartes. D'où l'extrapolation à 100 cartes avec le même coût par paquet de 4 cartes soit un coût global de 50 €
k = 4 : on considère 10 cartes n°1 à 10 placées le long d'un cercle dans les positions de 1 à 10 coloriées
"rouge,jaune,noir,bleu,vert,rouge,jaune,noir,bleu,vert".
On peut vérifier que l'objectif est de permuter les cartes placées à l'origine dans les cases "rouge/vert" puis de permuter les cartes placées à l'origine dans les cases "jaune/bleu" et de laisser à leur place les cartes placées à l'origine dans les cases"noir". Dès lors que cette configuration est obtenue, des permutations gratuites permettent d'obtenir l'ordre inverse souhaité.
Les coûts se décomposent en trois paquets :
1) permutations des cartes "vert/rouge" = 10/5 = 2€,
2) permutations des cartes "jaune/bleu" =2*10/5 = 4€ avec l'enchaînement des permutations payantes (2,3),(4,2)(7,4),(9,7) et des permutations intermédiaires gratuites, notamment pour rendre adjacentes les deux couleurs jaune et bleu...
On obtient ainsi la séquence 10,3,8,7,6,5,4,9,2,1
3) ultime coût d'1 € pour permuter la carte 3 qui est en position "jaune" et la carte 9 qui est en position
"noir".
Coût total 10/5 + 2*10/5 + 1 = 7€
D'où l'extrapolation à 100 cartes avec l'ultime coût qui est toujours de 1 € soit un coût global de 100/5 + 2*100/5 + 1 = 61 €.
