Enoncé I131 (Diophante) La racine du jeu
On considère un échiquier rectangulaire ABCD de dimensions AB = 20 et BC = 12 dont les cases sont des carrés unité. Un pion se déplace d’une case à l’autre à la condition que les deux centres des deux cases soient distants de√
N avec N entier ≥2.
L’objectif est d’acheminer le pion de la case ayant pour sommetA à la case ayant pour sommetB.
Pour quelles valeurs deN de 2 à 10 est-ce possible ? Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Prenons l’origine des coordonnées au point de départ (centreO de la case de sommet A), axe Ox parallèle àAB. Le point d’arrivée souhaité est (19,0).
Les déplacements élémentaires (δx, δy) doivent vérifierδx2+δy2 = N, d’où le tableau
N (δx, δy)
2 (±1,±1) (x+y) mod 2
3,6,7 (0,0) x, y
4 (±2,0); (0,±2) xmod 2, y mod 2 5 (±1,±2); (±2,±1)
8 (±2,±2) (x+y) mod 4, xmod 2, ymod 2 9 (±3,0); (0,±3) xmod 3, y mod 3
10 (±1,±3); (±3,±1) (x+y) mod 2
La colonne de droite de ce tableau identifie pour chaque valeur de N les expressions restant invariantes dans le déplacement. Le parcours souhaité laissey invariant, mais demande quex, passant de 0 à 19, change de parité et de reste modulo 3. La seule possibilité correspond àN = 5, avec par exemple la séquence
(0,0), (1,2), (3,1), (5,0), (è,1), (9,0), (11,1), (13,0), (15,1), (17,0), (18,2), (19,0).
