Enoncé A484 (Diophante) Un lieu diophantien
Dans un repère orthonormé (x00x, y0Oy), on trace un carré ABCD de centre O dont le sommetA de coordonnées entières (k, k) est situé sur la bissectrice du quadrant xOy et le sommet C est le symétrique de A par rapport à O.
Pour un point M quelconque du plan, on calcule la somme s=a.M A2+ b.M B2 +c.M C2 +d.M D2 dans laquelle a, b, c et d sont quatre entiers naturels positifs.
1) Démontrer que lorsque s est une constante, le lieu de M est un cercle (C) dont on précisera le centre et le rayon en fonction des paramètres k, a, b, c, d ets.
2) Avec a= 3, b = 8 et un cercle (C) de rayon R = 2012 passant par le sommetA, calculer le côté du carréABCD.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
1) SoitGun point auxiliaire que je préciserai plus loin. Je suppose connues la notion de produit scalaire de deux vecteurs et ses propriétés. Il en résulte M A2=M A~ ·M A~ = (M G~ +GA~ ·(M G~ +GA) =~
=M G~ ·M G~ + 2M G~ ·GA~ +GA~ ·GA~ =M G2+ 2M G~ ·GA~ +GA2, puis s=a.M A2+b.M B2+c.M C2+d.M D2 =
= (a+b+c+d)M G2+ 2M G~ ·(a. ~GA+b. ~GB+c. ~GC+d. ~GD) + +a.GA2+b.GB2+c.GC2+d.GD2
La conditiona. ~GA+b. ~GB+c. ~GC+d. ~GD= 0 définitGcomme barycentre des pointsA, B, C, D affectés des poidsa, b, c, d. La somme de l’énoncé se réduit alors à
s= (a.GA2+b.GB2+c.GC2+d.GD2) + (a+b+c+d)M G2 =
=sG+ (a+b+c+d)M G2.
Les coordonnées A(k, k), B(−k, k), C(−k,−k), D(k,−k) conduisent aux conditions
(a+d)(k−xG)+(b+c)(−k−xG) = 0, (a+b)(k−yG)+(c+d)(−k−yG) = 0, puis
xG=ka−b−c+d
a+b+c+d, yG =ka+b−c−d a+b+c+d. On en tiresG =a.GA2+b.GB2+c.GC2+d.GD2 =
= 4k2(a+c)(b+d) + 2(ac+bd) a+b+c+d . Asdonné, on aM G2 =R2= s−sG
a+b+c+d, qui caractérise un cercle (C) de centreG.
1
2) Ce cercle passe par Asi
s=sA=b.BA2+c.CA2+d.DA2 = 4k2(b+ 2c+d). On a alors R2 = sA−sG
a+b+c+d = 4k2(b+c)2+ (c+d)2 (a+b+c+d)2 .
Il s’agit de déterminer le côté 2kdu carré ABCD connaissant R = 2012, a= 3,b= 8.
On a donc 20122(11 +c+d)2 = 4k2((8 +c)2+ (c+d)2).
Soit q=P GCD(8 +c, c+d). Alors le rationnelm= 1006(11 +c+d)/(kq) a pour carré une somme de deux carrés premiers entre eux ; c’est donc un entier m=u2+v2, m2 = (u2−v2)2+ (2uv)2, où nous pouvons supposer u > v >0.
503, nombre premier de la forme 4n−1, ne peut diviser une somme de deux carrés premiers entre eux, comme l’a établi Fermat ; il ne divise pas m alors qu’il divisekqm, il divise donck ouq.
2.1) 503 divise k= 503e.
L’équation s’écrit 2(11 +c+d) =eqm, ou 22/q =em−2(c+d)/q, entier ; ainsi q est un diviseur de 22.
Observons que (c+d)/q≤max(u2−v2,2uv)< u2+v2 =m.
Ainsi 22 > (e−2)qm et comme m =u2+v2 ≥ 5, q ≥ 1, 22 > 5e−10, e≤6.
Si e= 1, 22/q=u2+v2−4uv ou 22/q = 3v2−u2. Le premier cas donne q = 1, u = 3Tn(2)−2Un(2), v = 5Un(2)−Tn(2), avec Tn polynôme de Tchebychev de degrénetUnpolynôme associé. Maisd−8 = 2uv−u2+v2 <
0, ce qui ne donne pas de solution acceptable.
Le second cas donne q = 2 ouq = 11, d’oùu etv de manière analogue au premier cas. Mais d−8 =u2−2uv−v2<0.
Si e= 2, 11/q = (u−v)2 ou 11/q = 2v2. Le second cas ne donne rien, le premier donne q= 11, u=v+ 1, c= 22v+ 3, d= 22v2−3.
Si e= 3, 22/q =u2+ 5v2 ou 22/q = 3u2−4uv+ 3v2. Le premier cas ne donne rien, le second donne q = 2,u= 2, v = 1,d= 10 maisc=−2 non acceptable.
Sie= 4, 11/q=u2+ 3v2ou 11/q = 2(u2−uv+v2), tous deux impossibles.
Sie= 5, 22/q = 3u2+7v2ou 22/q = 5u2−4uv+5v2, tous deux impossibles.
Sie= 6, 11/q = 5u2+7v2ou 11/q = 6u2−2uv+6v2, tous deux impossibles.
La seule solution si 503 divisekest donce= 2,k= 1006, avec une infinité de couples (c, d). Le côté du carré ABCD mesure alors 2k = 2012. On verra au paragraphe suivant que c’est la plus grande solution.
2.2) 503 diviseq = 503e.
L’équation devient 2(11 +c+d) =ekm.
edivise (c+d)/503, donc aussi 22.
On a à discuter, avec les valeurs possibles (1, 2, 11, 22) de e, l’équation 22/e=k(u2+v2)−1006(u2−v2) avec−8< d−8 =q(u2−2uv−v2), et l’équation 22/e=k(u2+v2)−2012uvavec−8< d−8 =q(2uv−u2+v2).
Sous la forme (k+ 1006)v2+ (k−1006)u2 = 22/e, la première équation montre qu’il faut k < 1006 ; d’autre part, si k est trop petit, u/v sera trop voisin de 1 et u2−2uv−v2 <0. On a les limites (approximatives) 1006> k >1006/√
2 = 711, . . .
De même, sous la forme (k+ 1006)(u−v)2+ (k−1006)(u+v)2 = 44/e, la seconde équation montre qu’il fautk <1006 ; d’autre part, si kest trop petit, (u+v)/(u−v) sera trop voisin de 1 et 2uv−u2+v2<0. On a les mêmes limites (approximatives) que dans le cas précédent.
Cela conduit à étudier quelques centaines d’équations de la forme Lx2−M y2 =N.
Ce nombre se réduit à 97 par le critère de Legendre (possibilité de l’équa- tionLx2−M y2 =N z2).
Classiquement, à L, M > 0 donnés (LM non carré), on commence par déterminer les plus petits entiers positifs g eth tels que g2 =LM h2+ 1.
S’il existe des solutions (x, y), il en existe (x0, y0) avec
2Lx20 −N = 2M y20 +N ≤ g|N|, accessibles par énumération bornée.
Chacune de ces solutions minimales donne naissance à une infinité de solutionsxn=x0Tn(g) +y0M hUn(g),yn=y0Tn(g) +x0LhUn(g).
2
On a c= 503emin(u2−v2,2uv)−8, d= 8 + 503e|u2−v2−2uv|.
J’ai trouvé ainsi 20 solutions en k, mais il en existe sans doute d’autres (le critère de Legendre laisse subsister une soixantaine d’autres valeurs de k, mais la recherche de solution met en jeu des nombres trop grands, de même que la recherche d’une preuve d’impossibilité).
Dans tous les cas chaque solution en k donne des solutions enu, v, c, d en nombre infini, celles du tableau sont les plus petites.
La dernière ligne du tableau rappelle le résultat du premier paragraphe.
k u v q/503 c d
722 26 11 11 3020807 94069
781 21 10 22 3773498 874222
805 2 1 22 33190 11074
807 2 1 2 3010 1014
827 16 5 22 1770552 785694
832 13 4 11 575424 271125
836 79 24 1 1907368 942127
844 98 29 11 31449564 17036115
856 303 86 11 288357820 178699309
875 716 417 2 340799594 259927270
877 11379 2689 11 471149761833 367225691371
900 282628 66651 11 208455098070640 208933565745099
932 2743 536 1 1479069480 2161017279
982 5 4 1 4519 15601
983 5711 4602 2 11505739694 41373688570
988 28302 2689 22 1684235454288 7099550842590
997 2692648 180493 2 977840280313560 6283241901714570
996 220671 15596 1 3462234425488 20909350452087
1004 317 10 1 3189012 47306655
1005 7956130100 177417249 2 2840048086636526938792 60808092376974054752202
1006 2 1 − 25 19
3
