A484. Un lieu diophantien
D’après un problème proposé par Patrick Gordon
Dans un repère orthonormé (x’Ox,y’Oy), on trace un carré ABCD de centre O dont le sommet A de coordonnées entières (k, k) est situé sur la bissectrice du quadrant xOy et le sommet C est le symétrique de A par rapport à O.
Pour un point M quelconque du plan, on calcule la somme s = aMA² + bMB² + cMC² + dMD² dans laquelle a, b, c et d sont quatre entiers naturels positifs.
1)Démontrer que lorsque s est un constante, le lieu de M est un cercle (C) dont on précisera le centre et le rayon en fonction des paramètres k, a, b, c, d et s.
2)Avec a = 3, b = 8 et un cercle (C) de rayon R = 2012 passant par le sommet A, donner au moins deux dimensions possibles du côté du carré ABCD.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
On suppose que les termes sont tous strictement positifs; ou bien qu’au moins la somme de ces quatre éléments est strictement positive; sinon le cercle dégénère dans une droite ou dans l’équation .
Pour ce qui concerne la valeur on trouve aisément:
Ce qui représente un cercle dont les coordonnées du centre sont:
et le rayon vaut :
Ce cercle passera par le point si et seulement si:
ce qui, avec entraine
et donc, puisque , pour le côté on a:
En particulier le couple doit fournir les cathètes d’un triangle rectangle; pour un positif à fixer plus loin, on choisira:
à savoir :
ce qui entraine pour la formule
Le choix , qui permet évidemment des simplifications, amène à:
et, le facteur 2012 mis à part, il s’agit de trouver un triangle rectangle dont un des cathètes, augmenté de 1, donne l’hypoténuse; la valeur du côté sera alors 2012.
Par exemple on peut choisir le triangle (3,4,5), correspondant à , donc
; ou le triangle (5,12,13), soit , donc .
Echangeant dans le rôle des termes on parvient à
Ce qui entraine pour c, d et 2k les valeurs:
et la formule pour devient :
Maintenant on va simplifier la formule en choisissant pour un diviseur de 2012; par exemple avec on aboutit à
qui pour (à savoir ) fournit .
