DEVOIR A LA MAISON N°15. TS3.
Pour le lundi 27 avril 2015.
SUJET A. VERS LA PREPA.
I. Calcul intégral et volumes.
Soit ( O i j k ) un repère orthonormé de l'espace et soit () un volume délimité par les plans d'équations z a et z b et soit V son volume.
On a alors le théorème suivant :
1. Application :
Retrouver la formule donnant le volume d un cylindre de rayon r et de hauteur h.
Solide de révolution :
Dans le plan d'équation z 0, on note C la courbe représentant une fonction f continue sur un intervalle [a b] (a < b ). En faisant pivoter C autour de l'axe ( O i ) , on engendre un solide de révolution.
On a alors :
2. Application.
Soit un cône de hauteur h et de rayon R.
a. Déterminer une équation de la droite (OA ).
b. Retrouver la formule donnant le volume du cône.
II.
Intégration par parties.
Soient u et v deux fonctions dérivable sur un intervalle I [a b ].
1. Vérifier que pour tout x de I, u v (uv) u v.
2. En déduire que
a
b
u (x )v (x )dx u (x) v (x)
ab
a
b
u (x) v( x)dx . 3. Calculer
0
1
xe
xdx (poser u (x ) x et v ( x) e
x).
4. Calculer
1 eln(x)
x²
dx.
5. Calculer
1
x
ln(t )dt où x est un réel strictement positif. En déduire une primitive de la fonction ln sur ]0 [.
Théorème : Soit S(t) l'aire de la surface obtenue en prenant
l'intersection de () avec le plan d'équation z = t pour t appartenant à [a ; b]. Si S est une fonction continue sur [a; b], alors V =
a
b Sxdx
Le volume de ce solide de révolution est : V =
a
b
(f (x ))
2dx
A
CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°15. TS3 SUJET A. VERS LA PREPA.
I. Calcul intégral et volumes.
Application 1 :
Soit un cylindre de hauteur h et de rayon r . La section du cylindre par des plans d équation z t où t est compris entre 0 et h est un disque d aire r ². On a donc ici S (x ) r² (fonction const ante).
Le vol ume du c ylindre est
0
h
r²dx
r ² x
0 h
= r² h 0 r ² h.
Le volume du cylindre de hauteur h et de rayon r est r ² h.
Application 2 :
Soit un cône de hauteur h et de rayon R.
a. O (0 0) et A(h R ) donc (OA ) a pour équation y R h x . b. On a alors d après la propriété : Le volume du cône est : V
0 h
R hx
2dx
0 hr²
h²
x ²dx
r² h²
1 3 x
30
h
1
3 r ² h 3
h² 0 1 3 r²h .
II.
Intégration par parties.
1. (u v) u v u v donc u v (u v) u v . 2.
a
b
u( x) v ( x)dx
a
b
( u( x) v( x)) u (x) v (x)dx =
a
b
u (x ) v(x )dx : formule d intégration par parties.
3. On pose : u( x) x et v (x ) e
xu (x) 1 et v( x) e
x4.
0
1
xe
xdx =
0
1
u (x) v (x )dx
xex 0
1
0
1
1e
xdx d après la formule d intégration par parties.
e
1
e
x0 1
= e
1e
1e
01.
5. On pose : u( x) ln( x) et v (x ) 1 x² u (x ) 1
x et v (x ) 1 x
1 eln(x)
x²
dx
ln( x)
x
1e
1
e 1
x²
dx 1 e
1 x
1e
= 1 2 e 6. On pose : u( t) ln(t ) et v (t ) 1
u (t ) 1
t et v( x) t
1
x
ln(t )dt
ln( t)
1 x
1
x
1dt ln(x )
t 1
x
ln( x) x 1.
D après le cours, la fonction x
1
x
