Leçon 12: Volume de pyramide, de cône

Leçon 12: Volume de pyramide, de cône

Activités

l.

Reproduire les figures suivantes puis fabriquer :

a.

une pyramide régulière à base triangulaire.

b.

une pyramide régulière à base carrée.

I c. Un cône de révolution

2.

Dessiner les patrons de deux prismes à bases respectives des

pyramides

a et b ayant pour hauteurs celles de ces deux pyramides. Construire ces prismes.

3. La pyramide à base rectangulaire et le prisme

ont

même base et même hauteur.

\ .tJ

s,il

La pyramide est remplie de sable.

'

_{On verse le} sable contenu dans la pyramide, dans le prisme.

I ,, i

Combien de pyramides

faudrait-il

pour remplir le prisme ? 4.

5.

La pyramide régulière à base triangulaire et le prisme ont la même base et la même hauteur. La pyramide est remplie de sable. On verse le sable contenu dans la pyramide, dans le prisme.

Combien de pyramide(s) faudrait-il pour

remplir

le prisme ?

Le

cylindre

et le cône ont même base et même hauteur. Le cône est

rempli

de sable. On verse le sable contenu dans le

cône,

dans le cylindre.

Combien de cônes

faudrait-il

pour remplir le

cylindre

?

Le cours

l.Volume

de

pyramide

:

Le

volume V

d'une pyramide est égal au tiers du produit de

I'aire S

de sa base par sa hauteur h.

Volume de

pyramid"= I

_J

_"

^{aire de la base x hauteur}

I

V

=15]h.

^{9J:aire de}

^labase

3

h : hauteur

Le prisme et la pyramide ont même base et même hauteur.

Il

faut

trois

pyramides pour

remplir

le prisme. Conformément à la formule ci-dessus.

Exemple

l:

Une pyramide à base rectangulaire de dimensions 6cm sur 8cm a une hauteur de

l0cm.

_Quel est son volume ?

Solution:

I

D'après la

formule

V

=:B

h , on a ^; J

t

V

=!x(O"a)"

_1\

^l0

=160 ^cm3

J

198

Exemple

2 :

On considère deux pyramides à base carrée.

La

grande a un volume 8

fois

plus grand que

celui

de la petite et sa hauteur est deux fois celle de la petite.

È1 ', .,'

^pyramide sachant

que I'aire

de la base de la petite.

estde

25cm2?

Solution

:

^{On suppose :}

h , la hauteur de la petite pyramide.

a,

la mesure du côté de base de la grande pyramide.

2h

,la

hauteur de la grande pyramide

(,

le volume de la grande pyramide

(,

le volume de la petite pyramide D'après la formule V

=:B

^{à , on a :}

J

V,

'33 :J-xa' t^1 x2h :

^V"

^:1x25xh

Puisque

Vr

=8V,

^{on a donc :}

t (r \

!ra, _x2h:grl I _x25xhl

3 \3 )

o, -(s"zs'h)"f1) = roo

\ 3 )\2h)

lar l_l _r2h =gx(1x25xh)

a.

JJ

. 2 ^(sxzsxh) (l)

I a. =l_lxl_. ^1:100

\ 3 )\2h)

Donc la mesure du côté de base de la grande pyramide est 10cm.

2.

Volume

de cônes de

révolution

Le volume

V

d'un cône de révolution est égal au

tiers

du produit de

I'aire

B de sa base par sa hauteur h.

Volume de cone =

1t

_{uire de base x hauteur}

3

v=lgft

3

r; ralon

du disque de base

h

: hauteur

Le

cylindre

et le cône ont même base et même hauteur.

Il

faut trois cônes pour remplir le

cylindre,

.,1

//

Exemple l:

Un verre en

Calculer son volume.

papier de hauteur

9,4cm

_{, a pour} ^base un disque de diamètre 7 cm ^.

Solution:

D'après la

formule : V

₌

]o.'f,

_J

Ona: V=l x3,l4x(3,5)t x9,4=120,5

cm3 3

ll00

¹

-cm-

¹⁵⁰

Exemple

2 :

¹⁵⁰ petits cônes en feuille de

bananier

contiennent I

l00cm3

de gâteau. Chaque

petit

cône a une hauteur de

7cm

. Calculer le diamètre du disque de base de ces petits cônes.

Solution:

.

150 cônes contiennent

I

l00c,rn3 de gâteaux.

Un

cône

contient,

^I

lffi

cro'

de eâteau c'est-à-dire le volume

d'un

cône est de 150

D'après la

forlnule V

₌

lnr'h

_{, on}

_a:

3

,' : ^3Y :

_-

llt

^too=

⁼ ^ -') =:0,95cttt d'ô t: J0.9s

_=0,98

zuh l50xnx7 3,74x7

Donc le diamètre du disque de base est de

: d:2r _=l,96cr.rr

Aires

et volumes de

pyramides,

de cônes

Aire Volume

Pwamide

A: Aire laterale

+ aire de la base

Y

=Ltaire

^{de la} baserhauteur

3 Cône A ₌

ærd + nr'= nr(d+r)

r:

rayon de la base h : hauteur

I

V ₌

1ærth

Ja

r:

rayon de la base

h:

_hauteur

198

I

Exercices

Dans cet exercice, on considère des pyramides régulières.

Compléter le tableau suivant.

:T"*to"

à base Côté de la base

(cm)

Aire

de la base - ("-t )

hauteur (cm)

volume

("-')

Triangutaire

l0

43,3 9

caITee 8,2 10,5

pentagonale 7,3

9r,65

641,6

carTee 64 320

hexagonale 6

Une pyramide régulière en ciment à base triangulaire

de l2cm

de côté, a une hauteur de 20cm.

Combien

faudrait-il

de ciment pour fabriquer'cette

pyramide

?

o

étant

donné:

. aire du triangle équilatéral

6

₌

! u' ^{i Ji =1,732} 3.

^Calculer

t" uotrr-"

Oe chacune

u".ofi*r",

suivartes.

. ABCD est un rectangle

. ASB est un triangle équilatéral . AB=8 cm

.

AD:4

cm

Un cristal formé de deux pyramides régulières accolées par deux bases carrées, est incluse dans un cube de ^1Ocm d'arrête.

Les sommets du cristal sont les

milieux

des arrêtes du cube, comme le montre la figure ci-contre. Calculer le volume de ce cristal.

4.

Calculer la masse de farine

pour

100 gâteaux sachant

.,

qu'il faut 1

_{de farine}

_pour

_{un gâteau (}

I

_{kg = ldm3 1.}

J

6 Un bâtiment a la forme

d'un

prisme surmonté d'une pyramide représenté sur la figure ci-dessous (les mesures indiquées sont en cm).

l5m

.

^Pour construire ce bâtiment,

il

faut lYo de fer et de ciment. Combien faudrait-il de

fer

et de ciment pour construire cç bâtiment ?

30m

Dans cet exercice, on considère

trois

pyramides régulières à base carrée

de locm2

d'aires :

A, B

et C. Ranger par ordre croissant les volumes de ces

trois

Pyramides sachant que :

. Pyramide

A

: ^a pour lOcm de

hauteur'

. Pyramide

B

: a pour _lOcm

d'arrête

_;

. Pyramide

C

: a pour

l0cm

d'apothème.

La pyramide de Clréops (25 siècles av.J.-C.)

La pyramide est régulière. I

Elle

a une hauteur de

l38m

et une base carrée de230m de côté.

a. Calculer son volume.

b. Combien mesure

I'arrête, lm

près.

c. Calculer

I'aire

des quatre faces triangulaires.

(Anondir à

l0m2 près)

9.

^{La pyramide à Louvre} (1988 apr. J.-C). C'est, elle aussi, une pyramide régulière dont la hauteur mesure

2lm

et dont la base carrée a 34m de côté.

a. Calculer son volume.

b.

Si vous avez traité la question a. de I'exercice 8,

vous

constatez que

le volume

de la pyramide du

Louwe

est plus petit que celui de la pyramide de Chéops. Combien de

fois

est-il plus petit ?

7.

200

Combien ^mesure l'arrête

à lm

près ?

Calculer I'aire

totale des ^plaques

de verre qui recouvrent

la

pyramide du Louvre. (Arrondir àlm2).

La tente indienne a une forme

d'un cône.ayant

l,75cm de rayon de base et 3,25cm de hauteur.

.

_Quel est le volume de cette tente ?

Deux bougies :

l'une

a une forme

d'un

cylindre ayant 3cm de diamètre de base et 5cm de hauteur.

L'autre

a une forme

d'un

cône de révolution ayant 2cm de rayon de base et 6cm de hauteur. Calculer le

volume

de chaque bougie.

Des cônes d'encens sont composés de la sciure et de

I'

arbre parfumé. Chaque cône d'encens a pour

lcm

de hauteur

et lcm

_de diamètre de base. Combien

faudra-t-il

de sciure pour fabriquer 50 000 cônes d'encens ?

Un verre en papier a une forme

d'un

cône ayant lOcm de hauteur et 8cm de diamètre de base. Si chaque élève

d'une

équipe de 50 élèves

boit

deux verres, un récipient de 2o

litres

d'eau est-il suffisant ?

Pour dessiner le gâteau d'anniversaire, on

.;"':t' .. ^utilise

une poclre à crème

qui

a la forme

d'un

i.

^{Pour 15 roses.}

180 roses ?

d.

10.

I

l.

12.

13.

t4.

15. On considère un hauteur (comme

cône inscrit dans une pyramide régulière à base carrée 15cm le montre la figure). Calculer le volume de ce cône.

de

côté

et

l8cm

de

2.

3.

l.

Exercices

Dans cet exercice, on considère des pyramides régulières.

Compléter le tableau suivant.

Une pyramide régulière'en ciment à base triangulaire

de l2cm

de côté, a une hauteur de 20cm.

Combien

faudrait-il

de ciment pour fabriquer cette

pyramide

?

' .

étant

donné:

. aire du

triangle

équilatéral

A =

^lz

t:' a' _; Ji =1,732

4

Calculer le

volume

de chacune des figures suivantes.

.

ABCD

est un rectangle

. ASB est un triangle équilatéral .

AB:8

cm

.

AD:4

cm

Un cristal

formé

de deux pyramides régulières accolées par _deux bases carrées, est incluse dans un cube de lOcm d'arrêtd.

/l

I

Les sommets du cristal sont les

milieux

des anêtes du cube, comme Ie montre la figure ci-contre. Calculer le volume de ce cristal.

5. Un gâteau a la forme d'une pyramide régulière à base canée de côté 4cm ayant 3cm de hauteur.

b.

4.

Calculer la masse de farine pour 100 gâteaux sachant

qu'il faut a )

_{de farine}

_pour

un gâteau (

I

kg _{= ldm3 ).}

J

6. Un bâtiment a la forme d'un prisme surmonté d'une pyramide représenté sur

la

figure ci-dessous (les mesures indiquées sont en cm).

l5m

202

Combien mesure I'arrête

à lm

près ?

Calculer l'aire

totale des plaques

de verre qui recouvrent

la

pyramide du lnuvre. (Arrondir

àlm2).

Pour construire ce bâtiment,

il faut

lo de fer et de ciment. Combien

faudrait-il

de fer et de ciment pour-construire ce bâtiment ?

Dans cet exercice, on considère trois pyramides régulières à base carrée de

l0cm2 d'aires

: A, B et

C. Ranger par ordre croissant les volumes de ces trois Pyramides sachant que :

. Pyramide

A

: a

pour

10cm de hauteur ;

. Pyramide

B

: a

pour

10cm d'arrête _; . Pyramide C : a

pour

lOcm d'apothème.

La pyramide de Chéops (25 siècles av.J.-C.)

La pyramide est régulière. Elle a une hauteur de l38m et une base carrée de 23Om de côté.

a. Calculer son volume.

b. Combien mesure I'arrête, lryr près.

c. Calculer

I'aire

des quatre faces triangulaires.

(Arrondir

à l0m2 près)

La pyramide à L,ouvre (1988 apr. J.-C). C'est, elle aussi, une p)iramide régulière

dont

la hauteur mesure 21m et dont la base carrée a34m de côté.

e.

Calculer son volume.

f. Si

vous avez traité

la

question a. de

I'exercice8,

vous constatez qve le volume

de la

pyramide du Louvre est plus

petit

que celui de la pyramide de Chéops. Combien de fois

est-il

plus petit ?

h.

7.

8.

9.

t0.

La tente indienne a une

I

l.

Deux bougies :

I'une

a une

.,i,

^_.

15.

On considère.un hâutéur (coinme

forme

d'un

cône

ayant

l,75cm de rayon de base

et3,25cm

de hauteur.

Quel est le volume de cette tente ?

forme

d'un cylindre

ayant 3cm de diamètre de base et 5cm de hauteur.

L'autre

a une forme

d'un

cône de révolution ayant 2cm de rayon de base et 6cm ^de hauteur. Calculer le volume de chaque bougie.

12.

13.

14.

Des cônes d'encens sont composés de la sciure et de

I'

arbre parfumé. Chaque cône d'encens a

pour

1

lcm

de hauteur

et -cm

^de diamètre de base. Combien

faudra-t-il

de sciure

pour

fabriquer 50 000 cônes d'encens ?

Un verre en papier a une forme

d'un

cône ayant lOcm de hauteur et 8cm de diamètre de base. Si chaque élève

d'une

équipe de 50 élèves

boit

deux verres,

un

récipient de 2o

litres

d'eau est-il suffrsant ?

Pour dessiner le ^gâteau d'anniversaire, on

':'.''' _utilise

_{une poche à crème}

_qui

_{a la forme}

_d'un t

cône ayant 5cm de rayon

et l0cm

de hauteur

, _pour

_{15 roses..}

Combien faudra-t-il de crème pour dessinér 180 roses ?

cône inscrit dans une pyramide régulière à base carrée

l5cm

de

côté

et 18cm de le montre la figure). Calculer le volume de ce cône.

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