Dans toute la suite, le plan est rapporté à un repère orthonormé d'origine notée O , d'axes Ox et Oy et on désigne par a un nombre réel strictement positif donné.

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Problème 1.

L'objet du problème

est la recherche de lieux géométriques conduisant à l'étude de courbes planes (appelées en général cubiques circulaires). Les parties I et II donnent deux exemples de telles courbes. Dans la troisième partie, on considère le cas général.

Dans toute la suite, le plan est rapporté à un repère orthonormé d'origine notée O , d'axes Ox et Oy et on désigne par a un nombre réel strictement positif donné.

PARTIE I. Étude de la strophoïde droite

On désigne par D la droite d'équation x = 2a et par C le cercle de centre M 0 de coordonnées (−2a, 0) , de rayon 2a .

Pour tout nombre réel θ , on désignera par :

H (θ) le point d'intersection, lorsqu'il existe, de la droite (notée D

) d'angle polaire θ et de la droite D .

M (θ) le point d'intersection de la droite d'angle polaire θ et du cercle C (avec la conven- tion que lorsqu'il y a deux points d'intersection, M (θ) désigne le point d'intersection distinct de O ).

1. Donner une équation cartésienne, puis une équation polaire du cercle C .

2. Déterminer des coordonnées polaires de M (θ) et H (θ) , puis du milieu I(θ) du segment [M (θ)H (θ)] .

En déduire, lorsque θ varie, que I(θ) décrit la courbe d'équation polaire : r(θ) = −a cos (2θ)

cos (θ) .

3. Exprimer r(θ + 2π) , r(π + θ) , r(−θ) en fonction de r(θ) . Interpréter géométriquement ces résultats et indiquer sur quelle partie E de R il sut d'étudier la courbe.

4. Déterminer la limite de r(θ) sin (θ − π/2) lorsque θ tend vers π/2 . Qu'en déduit-on géométriquement ?

5. Étudier le signe de r(θ) pour θ ∈ E , représenter sur une même gure la droite D , le cercle C , et le support de cette courbe θ 7→ I(θ) .

6. Donner enn une équation cartésienne du support de la courbe θ 7→ I(θ) .

PARTIE II. Étude de la cissoïde droite

On désigne par D la droite d'équation x = 2a et par C le cercle de centre M 0 (−a, 0) , de rayon a .

1

d'après Ecole de l'Air MP 2002

D

D C

M

I(θ)

H (θ)

M(θ)

Fig. 1: Dénition de la strophoïde droite

Pour tout nombre réel t , on désignera par :

H(t) le point d'intersection de la droite (notée D

) d'équation y = tx et de la droite D .

M (t) le point d'intersection de la droite d'équation y = tx et du cercle C (avec la convention que lorsqu'il y a deux points d'intersection, M (t) désigne le point d'inter- section distinct de O ).

1. Donner une équation cartésienne du cercle C .

2. Déterminer les coordonnées de M (t) et H (t) , puis du milieu J(t) du segment [M (t)H (t)] .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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C

D_t D

M₀

H(t)

J(t)

M(t)

Fig. 2: Dénition de la cissoïde droite

3. Déterminer le vecteur-dérivé à la courbe t 7→ J(t) , puis en déduire le(s) point(s) sta- tionnaire(s) (c'est-à-dire non régulier(s)) de celle-ci. Etudier la tangente au(x) point(s) stationnaire(s).

En déduire que la tangente à la courbe t 7→ J (t) au point J(t 0 ) a pour équation t ₀ (t ² ₀ + 3)x − 2y = at ³ ₀

4. Etudier les variations des coordonnées x(t) , y(t) du point J (t) pour t ∈ R + , et re- présenter sur une même gure la droite D , le cercle C , et le support de cette courbe t 7→ J(t) .

5. Donner enn une équation cartésienne du support de la courbe t 7→ J(t) .

PARTIE III. Étude générale des cubiques circulaires

On considère un point M 0 (x 0 , y 0 ) distinct de O et on désigne alors par D la droite d'équation x = 2a et par C(x ₀ , y ₀ ) le cercle de centre M ₀ (x ₀ , y ₀ ) passant par O .

Pour tout nombre réel t , on désignera par :

H(t) le point d'intersection de la droite (notée D

) d'équation y = tx et de la droite D .

M (t) le point d'intersection de la droite d'équation y = tx et du cercle C(x 0 , y 0 ) (avec la convention que lorsqu'il y a deux points d'intersection, M (t) désigne le point d'intersection distinct de O ).

1. Déterminer les coordonnées de M (t) et H (t) , puis du milieu K(t) du segment [M (t)H (t)] .

2. Étudier les branches innies de la courbe t 7→ K(t) .

3. À quelle condition sur M 0 (x 0 , y 0 ) l'origine O appartient-elle au support de la courbe paramétrée t 7→ K(t) ?

Représenter graphiquement la zone du plan correspondante.

4. À quelle condition sur M ₀ (x ₀ , y ₀ ) la courbe a-t-elle un point double ?

Quel est alors ce point double ? Représenter graphiquement la zone du plan correspon- dante.

5. À quelle condition sur M ₀ (x ₀ , y ₀ ) la courbe a-t-elle un point stationnaire (c'est à dire non régulier) ?

Quel est alors ce point stationnaire ? Représenter graphiquement la zone du plan cor- respondante.

Problème 2.

Un plan P est muni d'un repère orthonormé. L'axe complexe d'un point est relative à ce repère.

L'objet de ce problème est de préciser, pour des nombres complexes a , b , c xés ( a 6= b ), l'ensemble (noté D ) des points du plan dont l'axe complexe appartient à

a|z ₁ | ² + b|z ₂ | ² + cz ₁ z ₂ , (z ₁ , z ₂ ) ∈ C ² tq |z ₁ | ² + |z ₂ | ² = 1

Partie I. Ellipses.

Dans cette partie, a et b sont des réels tels que 0 < b < a . 1. Soit (x, y, z) ∈ R ³ . Pour c et d réels, on considère l'expression

1

b ² (x − cz) ² + y ²

− 1

b ² − 1 a ²

(x − dz) ² .

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a. Préciser le coecient de xz et celui de z ² dans le développement de l'expression au dessus.

b. Déterminer c et d réels positifs tels que, pour tous x , y réels, 1

a ² x ² + 1

b ² y ² − 1 = 1

b ² (x − c) ² + y ²

− 1

b ² − 1 a ²

(x − d) ²

= 1

b ² (x + c) ² + y ²

− 1

b ² − 1 a ²

(x + d) ² . c. Montrer que 0 < c < a < d . On note e =

. Vérier que a = ed .

2. Montrer que, pour tout x et y réels, x ²

a ² + y ²

b ² = 1 ⇔ (x − c) ² + y ² = e ² (x − d) ² ⇔ (x + c) ² + y ² = e ² (x + d) ² . On introduit des points F ₊ et F

respectivement de coordonnées (c, 0) et (−c, 0) . On note E l'ensemble des points dont les cordonnées (x, y) vérient

x ² a ² + y ²

b ² = 1.

Le tableau suivant dénit le vocabulaire usuel dans ce cadre

ellipse excentricité foyers directrices grand axe petit axe E e =

points F et F

droites d'equ

x = d , x = −d

2a 2b

3. Soit M un point de coordonnées (x, y) . a. Montrer que M ∈ E entraine |x| ≤ a . b. Montrer les équivalences suivantes :

M ∈ E ⇔ M F ₊ = e(d − x) ⇔ M F

= e(d + x) ⇔ M F ₊ + M F

= 2a.

Il est clair que pour tout réel t , le point de coordonnées (a cos t, b sin t) appartient à E . On en déduit le tracé de cette courbe (ellipse).

La gure ?? présente des ellipses de mêmes foyers F et F

( avec c = 1 ) et de demi-grand-axe a entre 1.05 et 1.25

4. Soit u et v deux nombres complexes avec u 6= 0 et S l'application de P dans P qui à un point M d'axe z associe le point S(M ) d'axe uz + v .

On note E

l'image de E par S . Préciser les points F ₊

, F

et le réel positif a

tel que

∀m ∈ P, M ∈ E

⇔ M F ₊

+ M F

= 2a

.

F F ^′

Fig. 3: Ellipses homofocales

Partie II. Cercles.

Fig. 4: Tracé de quelques C

pour λ = 1 .

1. Dans cette question λ > 0 , ρ ∈]0, 1[ et C

est le cercle déni par : axe du centre : − 1 + 2ρ rayon : λ p

ρ − ρ ² . a. Former un équation de C

.

b. Montrer que l'ensemble (noté E

) des points du plan par lesquels passe exactement un cercle C

est une conique dont on donnera une équation réduite. Préciser le centre, l'axe focal et les foyers.

c. Quel est l'ensemble (noté ∆

) des points par lesquels passe au moins un cercle C

?

2. Soit S la fonction du plan dans lui même qui à un point d'axe z associe le point d'axe

2

a − b z − a + b a − b

a. Montrer que S est bijective. Préciser la bijection réciproque notée S

. b. Quelle est l'image par S d'un cercle de centre C et de rayon r ?

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c. Soit r ∈]0, 1[ , montrer que l'image par S d'un cercle vériant axe du centre : ar ² + b(1 − r ² ) rayon : |c|r p

1 − r ² est un cercle C

pour des ρ et λ à préciser en fonction de a , b , c . 3. Soit r ∈]0, 1[ xé, montrer que l'ensemble des points d'axe

a|z 1 | ² + b|z 2 | ² + cz 1 z 2 avec |z 1 | ² + |z 2 | ² = 1 et |z 1 | = r est un cercle. Préciser son centre et son rayon.

4. Montrer que D est l'image par S

d'un ensemble E

pour un λ à exprimer en fonction de a , b , c . Pour ce λ , quels sont les foyers de S

(E

) ?

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