A484. Un lieu diophantien

A484. Un lieu diophantien

Dans un repère orthonormé (x’0x,y’Oy), on trace un carré ABCD de centre O dont le sommet A de coordonnées entières (k, k) est situé sur la bissectrice du quadrant xOy et le sommet C est le symétrique de A par rapport à O.

Pour un point M quelconque du plan, on calcule la somme s = aMA² + bMB² + cMC² + dMD² dans laquelle a, b, c et d sont quatre entiers naturels positifs.

1) Démontrer que lorsque s est un constante, le lieu de M est un cercle (C) dont on précisera le centre et le rayon en fonction des paramètres k, a, b, c, d et s.

2) Avec a = 3, b = 8 et un cercle (C) de rayon R = 2012 passant par le sommet A, calculer le côté du carré ABCD.

Solution proposée par Maurice Bauval

J'ai supposé B dans le quadrant 2 et D dans le quadrant 4.

Q1. Soit S(M) = aMA²+bMB²+cMC²+dMD², et G le barycentre de A(a),B(b),C(c),D(d).

Réminiscence de moment d'inertie : S(M) = S(G) + (a+b+c+d)MG².

Si s > S(G),

le lieu de M tel que S(M) = s est le cercle de centre G et de rayon { [s – S(G)] / (a+b+c+d) }^1/2. Coordonnées de G : x= k(a+b-c-d)/(a+b+c+d), y= k(a-b-c+d)/(a+b+c+d).

Lorsqu'on substitue ces coordonnées dans

(a+b)(x-k)² + (c+d)(x+k)² + (a+d)(y-k)² + (b+c)(y+k)² , on trouve après simplifications : S(G) = 4k²((a+c)(b+d)+2(ac+bd)) / (a+b+c+d) d'où l'expression du rayon :

{[s – 4k²((a+c)(b+d)+2(ac+bd)) / (a+b+c+d) ]/(a+b+c+d)}^1/2. Q2. On trouve S(A) = 4k²(b+2c+d).

Lorsque le cercle passe par A, son équation est S(M) – S(A) =0 :

x²+y² -2kx(a+b-c-d)/(a+b+c+d) – 2ky(a-b-c+d)/(a+b+c+d) + 2k²(a-b-3c-d)/(a+b+c+d) = 0 On remplace a par 3 et b par 8 :

x²+y² + 2kx(c+d-11)/(c+d+11) + 2ky(c-d+5)/(c+d+11) - 2k²(3c+d+5)/(c+d+11) = 0

Pour préciser le rayon, on remplace x et y par u-k(c+d-11)/(c+d+11) et v-k(c-d+5) c'est à dire qu'on cherche l'équation du cercle dans un nouveau repère d'origine G :

u² + v² = 4k²[(c+d)² + (c+8)²]/(c+d+11)² .

Il reste à trouver les entiers k,c,d strictement positifs tels que 4k²[(c+d)² + (c+8)²]/(c+d+11)² = 2012² ou en simplifiant : k² [(c+d)² + (c+8)²] = 1006² (c+d+11)² (**)

Contraintes imposées au barycentre G : le barycentre de A(3) et B(8) est un point I (k, -5k/11 ), et comme c>0 et d>0, G doit être intérieur au triangle ICD. Cela nous impose 2 restrictions :

a) AG < AD soit 2012 < 2^3/2k d'où k > 711

b) AG supérieur à la distance de A à la droite ID. Equation de cette droite : 8x + 11y – 3k = 0.

Distance de A à la droite ID : 16k/

√

√

503 est un nombre premier. Dans l'équation (**), 503 divise ou bien k ou bien [(c+d)² + (c+8)²].

Si 503 divise k, avec 711<k<1711 alors k est l'un des nombres 503, 1006, 1509.

k=1006 conduit à c² – 6c - 22d – 57 = 0 qui admet une infinité de solutions c = 22t + 3 ; d = 22t² – 3 ( t > 1 ),

Par exemple c = 25 et d = 19 ce qui place G au point ( - 3018/5 , -1006/5 ) (voir figure jointe ) ou encore c = 47 ; d = 85 ce qui place G au point ( -11066/13 , 3018/13 ) etc..

Nous avons obtenu une première famille de solutions avec un carré de côté 2012.

k=1509 conduit à 14c²+10cd+56c+5d²-88d+92=0 qui n'a qu'une solution c= - 8 et d=30 rejetée.

Ici, c=25 et d=19 et G au point ( - 3018/5 , -1006/5 ) soit ( -603,6 , - 201,2 ) Autres solutions :

Si 503 ne divise pas k, 503² divise [(c+d)² + (c+8)²] , or 503 est congru à 3 modulo 4 et donc n'est pas la somme des carrés de 2 entiers strictement positifs. Cela implique que c+d et c+8 sont chacun multiple de 503. En posant c+d = 503x et c+8 =503y, l'équation (**) devient :

k²(x²+y²) = 4( 503x + 11 )² d'où k= (1006x+22)/

√

Posant (x,y) = (u²-v², 2uv) ou bien (2uv, u²-v²), on obtient

k= (1006(u²-v²)+22) /

√

√

Les premiers résultats sont affichés dans le tableau qui suit.

u v u²-v² u²+v² c d k Côté du Carré

3 1 8 10 3010 1014 807 1614

79 24 5665 6817 1907368 942127 836 1672

317 10 100389 100589 3189012 47306655 1004 2008

1133 299 1194288 1373090 340799594 259927270 875 1750

2743 536 7236753 7811345 1479069480 2161017279 932 1864

u v 2uv u²+v² c d k Côté du Carré

5 4 40 41 4519 15601 982 1964

399 320 255360 261601 28570895 99875185 982 1964