I131 ‒ La racine du jeu
Problème proposé par Raymond Bloch
On considère un échiquier rectangulaire ABCD de dimensions AB = 20 et BC = 12 dont les cases sont des carrés unité.
Un pion se déplace d'une case à l'autre à la condition que les deux centres des deux cases soient distants de N avec N entier ≥ 2.
L'objectif est d'acheminer le pion de la case ayant pour sommet A à la case ayant pour sommet B.
Pour quelles valeurs de N de 2 à 10 est-ce possible?
Pour les plus courageux: qu'en est-il pour les valeurs de N comprises entre 11 et 200?
Solution proposée par Raymond Bloch
Si on colorie la grille 20x12 comme un échiquier, supposons que la case A du coin supérieur gauche soit noire : alors la case B du coin supérieur droit est blanche.
Si √N est la longueur séparant les centres de 2 cases, c’est que N=a2+b2, a et b entiers : √N est la longueur de l’hypoténuse d’un triangle pythagoricien. Et si a ou b est nul, N est un carré parfait : ce cas est exclus puisque 19 est un nombre premier, et que donc aucun entier √N compris entre 2 et 10 n’a un multiple égal à 19.
Lorsque a et b ont la même parité, le pion reste indéfiniment sur des cases noires, et n’arrivera jamais en B : N ne peut pas être pair.
N ne peut pas non plus être un multiple de 3 : dans ce cas, a et b seraient tous deux multiples de 3 (puisque sinon a2 et b2 seraient congrus à 1, modulo 3, et donc leur somme ne serait pas congrue à 0, modulo 3). Colorions les colonnes 1, 4, 7, 10, 13, 16,19 de la grille en noir : le pion partant de la case A noire, restera toujours sur des cases noires quand a et b sont tous deux multiples de 3, et il n’arrivera jamais en B, une case blanche.
Finalement, le seul nombre entre 2 et 10 passant tous les tests est N=5=12+22. Le déplacement correspond alors à celui d’un cavalier aux échecs. On vérifie aisément que 10 mouvements de cavalier permettent de passer de A à B.
Remarque. Au-delà de N=10, on commence par appliquer les tests précédents, en excluant donc:
- Les N pairs et multiples de 3.
- Les N qui ne sont pas la somme de deux carrés parfaits non nuls de parités opposées.
Il reste une trentaine de valeurs entières entre 11 et 200 à examiner.
On sait – Marcin Kuczma, IMO 1986-1999, MAA 2003, p.108- que N=73=32+82 est acceptable, mais pas N=97=92+42.
