G128 : La balade du pion
Désignons les cases par leurs coordonnées entières à partir de la case centrale ; en vertu des symétries, on peut se limiter au cas de coordonnées positives ou nulles . Pour atteindre la case (p,q) en n=p+q+2r déplacements, il faut p+i déplacements D, i
déplacements G, q+j déplacements H et j déplacements B, avec i+j=r. Donc la somme des nombres de déplacements G ou B est r, et celle des déplacements D ou B est p+r.
Or la disposition de chaque déplacement est parfaitement déterminée si l’on choisit de façon indépendante la position des déplacements G ou B, puis celle des déplacements D ou B : le nombre de chemins pour atteindre la case (p,q) est donc CnrCnp+r.
Pour la case centrale p=q=0, n=2r, le nombre de chemins est (C2rr)2 , soit pour n=10, C105=252 et (C105)2=63504 pour 410=1048576 possibles soit une probabilité de 6,06%.
Pour un carré de coté 5, on peut atteindre, outre la case centrale, 4 cases des types (0,2), (1,1) où r=4, et (2,2) où r=3. Or (C104)2=44100, C104C105=52920, C103C105=30240.
Donc un total de 572544 chemins soit une probabilité de 54,60%.
Enfin, pour la croix, on peut atteindre, outre la case centrale, des cases du type (0,2k), où r=n/2-k, avec un nombre de chemins égal à (Cnr)2, ou encore CnrCnn-r. Or, en utilisant la formule de Van Der Monde, ∑CnrCnn-r=C2nn : puisqu’il n’y a qu’une case centrale le nombre total de chemins sera donc 2C2nn-(Cnn/2)2 ;
soit pour n=10, C2010=184756, donc un total de 306008 chemins ou une probabilité de 29,18%
