Repères et coordonnées.

III)

Repères et coordonnées.

1)

Dans un quadrillage du plan à maille carrée, on choisit un point O, puis I et J tels que OIJ est un triangle rectangle en O et isocèle.

On pose~i =−→OI et~j =−→OJ .

On dit que le plan est muni du repère orthonormal (O ;~i, ~j).

Dénitions

Dans un repère, le point M a pour coordonnées (x ; y).

x est l⁰abscisse de M y est l⁰ordonn´ee de M On peut écrire −−→OM =x~i+y~j.

De même le vecteur V~ a pour coordonnées a

b

. On peut écrire V~ =a~i+b~j

Ces écritures sont valables pour tous les repères du plan.

2) Vecteurs égaux.

Théorème 3 Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs coordonnées res- pectives sont égales.

Dans un repère quelconque (O ;~i ,~j), si ~u a

b

et~v a⁰

b⁰

alors :

~u=~v si, et seulement si

a = a⁰ b = b⁰

3) Calculs sur les coordonnées dans un repère quelconque.

Théorème 4 Si ~u

a b

et~v

a⁰ b⁰

sont deux vecteurs et k un réel, alors :

~ u+~v

a+a⁰ b+b⁰

et k~u ka

kb

.

Théorème 5 A

x_A y_A

et B

x_B y_B

sont deux points. Le vecteur −→AB a pour coordonnées :

−→AB

x_B−x_A y_B−y_A

.

4) Distance dans un repère orthonormal.

En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient le théorème suivant : Théorème 6

A xA

y_A

et B xB

y_B

sont deux points dans un repère orthonormal (O ;~i ,~j). La distance de A à B est donnée par :

AB =p

(x_B−x_A)²+ (y_B−y_A)².

IV) Utilisation des coordonnées.

1)

Dans un repère quelconque du plan, une égalité vectorielle se traduit par deux équations :

la premi`ere ´equation sur les abscisses, la seconde ´equation sur les ordonn´ees.

Exemple

Soient deux vecteurs ~u −4

3

et~v 1

−2

, et un point A 5

3

dans un repère (O ;~i ,~j) du plan.

On cherche un point M x

y

déni par l'égalité vectorielle −−→AM =~u + 2~v.