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Addition de vecteurs méthodes des composantes : Rappel ( r, Ɵ) coordonnées polaires Pour transformer en coordonnées cartésiennes (r cos Ɵ, r sin Ɵ)

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

1

Addition de vecteurs méthodes des composantes :

Rappel ( r, Ɵ) coordonnées polaires

Pour transformer en coordonnées cartésiennes (r cos Ɵ, r sin Ɵ)

Trouver la norme et l’orientation du vecteur résultant suivant :

Trouvons les composantes de chaque vecteur :

On additionne par la suite les x et les y pour trouver

les coordonnées du vecteur résultant :

(2)

2

On a appliqué ici la relation de ????

Pour l’orientation :

Tan -1 ( 9.229÷2.091) = 77.2 degrés

Donc l’orientation est de 180-77.2 ≈102.8

Remarque : il est toujours possible d’utiliser la loi des cosinus dans ce type de problème; à mon avis c’est plus laborieux….

(3)

3

Mouvement en 2 dimensions : les vecteurs ; exercices…

-1-. Donne les caractéristiques (norme et orientation) de chacun des vecteurs suivants :

a) v1

 (2, 4) b) v2

 (4, 2)

4,47 à 63,44 degrés 4.47 à 26,56 degrés

2. Vrai ou faux ?

a) ABBA b) Si ABCD, alors ACBD. c) AA  0

Vrai vrai (parallélogramme)

faux c’est 0 il faut la fleche

-3- Un nageur en apnée observe différentes espèces de poissons dans un fleuve. Il suit une direction de 135° par rapport au rivage et nage contre le courant à une vitesse de 6 km/h. Le courant à cet endroit est de 4 km/h. Détermine la norme du vecteur qui représente le déplacement du plongeur durant une demi-heure Réponse .

 2,12 km

1 d = v* t

6km/h * 0.5h = 3km à 135 degrés

4km/h *0.5h = 2km à 0 degrés (vers l’est)

2 vecteurs à additionner

3km à 135 degrés et 2km à l’est

(3, 135

o

) (2, 0

o

)

(4)

4

(3cos135,3sin135) + (2cos0 , 2sin0) (-2,12 ; 2,12) + (2,0) = ( -0.12; 2,12) Pythagore…. Réponse 2,12

-4-

Un avion quitte l’aéroport A et doit se rendre à l’aéroport B. Dans le plan cartésien ci-contre, ces aéroports sont représentés respectivement par les points A et B. Ce plan est gradué en kilomètres.

Durant le vol, l’avion est soumis à un vent constant. Ce vent est représenté par le vecteur v = (20, -15).

A (150, 125)

B (400, 200)

x y

S N

E O

Le pilote oriente donc l’avion de manière à annuler l’effet du vent.

Quelle est, au degré près, la mesure de l’angle, par rapport à l’est, que le pilote doit donner à

l’avion pour atteindre l’aéroport B? rép. : 21 degrés

(5)

5 Composantes du vecteur AB

AB = (400  150, 200  125) = (250, 75)

Composantes du vecteur manquant AB

? v

v

AB

?

? = (250, 75)  (20, -15)

? = (250  20, 75 + 15)

? = (230, 90)

v

AB

A ?

B

Orientation du vecteur manquant tan  =

230 90

  21,37

?

230 km

90 km

(6)

6 -5-

Soit le parallélogramme PQRS

Laquelle des propositions suivantes est FAUSSE?

A) PQ QR  PR

B) RP SP  RS

C) PSSR RP

D) SQ  QR  RS O

-6- Lors d’un exercice militaire GI Joe a effectué les déplacements suivants (en km)

( -5, 5) en suite 3 à 30o et finalement 2 à 270 o

Q

P S

R

(7)

7 Par la suite la pile de son GPS est tombée à plat. Heureusement il possède une boussole. Donne- lui les instructions claires pour qu’il puisse retourner à la base

(-5,5) (3cos30,3sin30) (2cos270, 2 sin270) (-5,5) + (2,6 ; 1,5) + ( 0, -2)

(-2,4; 4.5)

S’il veut revenir a la base c’est le vecteur opposé (2,4 ; -4,5)

Pythagore : 5,1

Tan

-1

(4.5/2.4) = environ 62 degrés mais attention…

360 – 62 = 298 degrés!

-

-7- Convertis ces vecteurs : donnés cartésiennes en coordonnées polaire

a) (6, 8) 10 à 306,860 b) (20, 10) 22,36 à

26,560

c) (0,9, 1,5) 1,75 à 590

(8)

8 8

Dans chaque cas, représentez le vecteur r dans le plan cartésien.

a) u

 (

2, 6), v

 (1, 7) v

u r  

2 1

b) u

 (

3,

1), v

 (2, 4) v

u r  

2

 5

𝑟 =(0 ; 10) 𝑟 = (2,9)

-9- Des vecteurs sont représentés dans le plan cartésien suivant. Tracez le vecteur résultant de l’addition de ces vecteurs. Réponse (2,-3)

10- Quelles sont les composantes (horizontales et verticales ) du vecteur vitesse?



v1  24,30 m/s à 25,0° commission scolaire : (22m/s, 10,27 m/s)

Full Joe, coucher au sol, lance un projectile (caillou) avec son « sling shot »

Infos : vitesse du caillou : 8 m/s angle : 25 degrés

(9)

9 Stratégie de base : toujours déterminer

𝑣𝑖𝑥 𝑞𝑢𝑖 𝑒𝑠𝑡 𝑡𝑜𝑢𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 = 8cos 25 = 7.25m/s 𝑣𝑖𝑦 = 8 sin25 = 3.38 m/s

La vitesse verticale va varier car c’est un MRUA ; l’effet de la gravité….

a) Quel est la hauteur maximale atteinte par le caillou?

Stratégie : à ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒 𝑜𝑛 𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑓𝑦 = 0m/s

Formule :

Attention il faut utiliser 𝑣𝑖𝑦

02= 3.38 m/s2− 2 ∗ 9.8 ∗ ∆𝑦 En isolant on obtient ∆𝑦 =0.58m

b) Quelle est la hauteur du projectile après 0.25s

Stratégie on utilise ∆ t = 0.25s; Attention il faut utiliser 𝑣𝑖𝑦 Et la formule suivante :

𝑦𝑓 = 0 + 3.38 ∗ 0.25 − 0.5 ∗ 9.8 ∗ 0.252=0.54m

c) Quelle est la distance horizontale parcourue par le projectile

Stratégie : on utilise la portée

8

2

sin 50

9.8 = 5m

(10)

10 d) Combien de temps dure le vol du caillou ?

Stratégie on utilise la réponse en c) et le fait que t =𝑣𝑖𝑥𝑑𝑥 𝑣𝑖𝑥 𝑞𝑢𝑖 𝑒𝑠𝑡 𝑡𝑜𝑢𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 = 8cos 25 = 7.25m/s 𝑣𝑖𝑦 = 8 sin25 = 3.38 m/s

𝑡 =

5𝑚

7.25m/s

=0.69𝑠

e) A quelle hauteur le projectile était-il lorsqu’il était à 2m de lui ? Stratégie : calculons le temps pris pour atteindre 2m : t =𝑑𝑥

𝑣𝑖𝑥

= 2𝑚

7.25m/s =0.28𝑠

Puis remplacer ce temps dans l’équation suivante :

Ce qui devrait te donner 0.56m

Les projectiles…mouvement en deux dimensions (horizontales (MRU) et verticale (MRUA)

Formue à ajouter : la portée :

D =v

2

sin2θ / g

Exemples fait par le prof…

-1-

(11)

11

1m/s = 3,6km/h

? m/s = 75km/h

(12)

12

règle de 3: 20,83m/s à 20 0

V x = v cos θ v y = v sin θ

Vi x = 20,83 cos 20 0 vi y = 20,83 sin 20 0

19.58m/s 7.12m/s

(13)

13 Sur un autre sujet…..-2-

(14)

14

La portée est à son maximum à 45 degrés D =v 2 sin2θ / g

D = 42 2 sin90 0 /9.8 = 180m NQ !

(15)

15 À cogiter en équipe….

La portée est de d = 14

2

xsin(2x40)/9.8 = 19.70m Vx = 14m/s x cos 40 = 10,72m/s

Donc t =

𝑑𝑣

=

10.72𝑚/𝑠19.7𝑚

= 1,83s la durée de vol du ballon Vitesse du coéquipier 𝑣 =

𝑑

𝑡

=

30−19.70=10.3𝑚

1.83𝑠

=

5,62𝑚𝑠

𝑜𝑢 20,26𝑘𝑚/ℎ

À cogiter en équipe, encore!

(16)

16 Patrice botte le ballon avec une vitesse de 20m/s à 25o

a) Combien de temps le ballon prend-il pour atteindre sa hauteur maximale?

b) Quel est le temps de vol du ballon?

c) Quelle distance parcourt le ballon horizontalement?

d) Quelle est la valeur de la vitesse du ballon au moment de toucher le sol? Quelle est l’orientation du vecteur vitesse au moment de toucher le sol?

Autre chemin formule de la portée : on obtien 31,26mètres

Vx = 20cos25 = 18.12 m/s donc t = 31.26m/18.12m/s = 1,72secondes donc a mi chemin h max est à 0.86s

(17)

17 b) voir plus haut 1,72s (par symétrie réponse obtenue en a) x2

c) la portée

D = 20 2 sin50 0 /9.8 = 31.26m

ou autre solution

e)

Var vfy = -viy et vx est constant Pythagore : 20 m/s et 360-25 = 335 degrés = orientation

(18)

18 Exercices à faire dans le manuel :

Team spirit 1 Accès collégial

NOM :_______________________ et _________________________

Question 1

Un joueur de baseball frappe une balle à 80 cm du sol, à la vitesse de 30 m/s, et selon un angle d’élévation de 80°. Jusqu’à quelle hauteur la balle s’élève-t-elle?

Solution 1

On a que viy = 30 xsin80 = 29.54m/s Calculons le temps pour atteindre hmax

À h max cela implique que vf = 0

0 = 29.54m/s - 9.8m/s

2

x ∆t -29.54m/s = - 9.8m/s

2

x ∆t

−𝟐𝟗.𝟓𝟒𝒎/𝒔

−𝟗.𝟖𝒎/𝒔𝟐

= 3.01s

Y max on prend la formule suivante;

(19)

19

Yf = 0.8m + 29.54m/s x 3.01s -

𝟏

𝟐𝒙𝟗. 𝟖𝒎/𝒔𝟐

x 3.01s = 45.32m NQ!

Autre solution

0 = 29.542 -2*9.8*∆y donc ∆y =(−2∗9.8)29.542 = 44.52m auquel on doit ajouter le 0.8m

Car cela signifie que la balles est 44,52mètres plus haut que son point de départ….

(20)

20 Question 2

Au botté de transformation, un joueur de football donne au ballon une vitesse initiale de 25 m/s avec un angle d’élévation de 30°. Le ballon est botté d’une distance de 25 m des buts.

Trouvez de combien de mètres le ballon dépassera la barre horizontale de 3 m de haut.

La hauteur du ballon a t = 1,15s

= 0 + 12.5m/s x 1.15s - 1

2x9.8m/s2*1.152 s2 = 7.9m 7.9-3m = 4.9m NQ

(21)

21 Relativité du mouvement :

-1- Dominic, assis près de la voie ferrée, voit des wagons se déplacer à vitesse constante vers sa droite. Soudain, sur l'un des wagons passant devant lui, il voit une personne lancer un boulon de métal tout droit vers le haut.

Quelle trajectoire du boulon Duquet voit-il? (Négligez la résistance de l'air).

(22)

22 -2-Une observatrice assise au bord d’une rivière voit passer deux kayaks. Elle mesure leur vitesse de déplacement : l’un pagaie vers l’aval à une vitesse de 6 m/s, l’autre vers l’amont à 2 m/s.

Si les deux kayakistes pagaient avec la même vitesse quelle est la vitesse du courant de la rivière? Démarche complète, cohérente, et intelligible exigée.

X : vitesse du pagayeur et y : vitesse du courant

X + y = 6 -X + y = - 2

En aditionnant 2y = 4 et donc y = 2 m/s

Car si le premier pagaie a x le second pagaie à –x (vecteur opposé) Y ne change pas le courant est vers la droite

Vers l’amont -2 car le sens contraire du courant….

(23)

23 -3- Claude, prof de math, assis sur un banc public, voit passer devant lui une cycliste se déplaçant en ligne droite à vitesse constante. Il observe la forme de la trajectoire décrite par le réflecteur fixé sur la roue avant.

Quelle est la forme de la trajectoire observée par Claude?

A)

B)

C)

(24)

24 NOM : ___________________________________ et________________________________

Accès collégial Travail d’équipe chapitre 3

-1- Clara est une joueuse de golf émérite. Elle propulse la balle avec un foudroyant coup de départ. Sa frappe catapulte la balle à 20m/s selon un angle de 30 degrés.

a) Calcule la hauteur maximale atteinte par la balle.

𝑣𝑖𝑥 = 20𝑐𝑜𝑠30 = 17.32𝑚/𝑠 𝑒𝑡 𝑣𝑖𝑦 = 20𝑠𝑖𝑛30 = 10𝑚/𝑠

D = 20 2 sin60 0 /9.8 = 35,34m

𝑡 =𝑑

𝑣 = 35.34

20𝑐𝑜𝑠30= 2𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑛𝑐 ℎ𝑚𝑎𝑥 𝑎 1 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒

= 0+10m/s x 1s - 0.5*9.8*12 = 5,1m Solution équivalente

0 = 100 -2*9.8*𝛥𝑦 donc 𝛥𝑦 =-100/(-2*9.8) = 5,1m

(25)

25 b) La balle a roulé par la suite sur une distance de 20 m après avoir touché le sol.

Quel est la distance totale parcourue par la balle?

Portée 35.34+ 20 = 55,34m

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