Pour tout x ∈ [0, +∞[ , on considère

MPSI B DS 2 29 juin 2019

Exercice I

Pour tout x ∈ [0, +∞[ , on considère

les suites (f _n (x)) _n∈

dénies par : f 0 (x) = 0 et ∀n ∈ N : f n+1 (x) = f n (x) + 1

2 (e

− f _n ² (x)) 1. a. Montrer que, pour tout x positif ou nul

e

− f n+1 (x) = (e

− f n (x))ϕ n (x) avec ϕ n (x) = 1 − 1

2 e

− 1 2 f n (x) b. Montrer que 0 ≤ f _n (x) ≤ e

pour tout x positif ou nul et tout entier n . Montrer

que la suite (f _n (x)) _n∈

est convergente et préciser sa limite.

2. On pose u n = 1 − f n (0) pour tout entier n . Montrer que u n = 2 ¹⁻²

Exercices II

1. a. Pour t réel, exprimer

e ^2t − 1 e ^2t + 1

à l'aide des fonctions trigonométriques hyperboliques.

b. Pour tout ϕ réel non congru à ^π ₂ modulo π , simplier

tan ² ϕ − 1 tan ² ϕ + 1 c. Montrer que, pour tout t réel,

arccos(th(t)) + 2 arctan(e ^t ) = π d. On considère, pour x ∈

0, ^π ₂

, l'équation ch t = 1

cos x

d'inconnue t . Montrer qu'elle admet une seule solution positive que l'on exprimera à l'aide de ^π ₄ , ^x ₂ , tan , ln .

1

d'après E3A PC 2000

e. Former et démontrer, suivant les valeurs de t , une formule reliant arcsin( 1

ch t ) et arccos(th t) 2. Simplier l'écriture des deux nombres réels

(7 + 5 √

2)

− (−7 + 5 √

2)

13 + 5 √ 17 2

!

− −13 + 5 √ 17 2

!

3. Linéariser

cos x cos 2x cos 3x sin 2x 4. Montrer que

arctan(1 + x) − arctan x = arctan( 1 1 + x + x ² )

Exercices III

1. Résoudre

z + i z − i

3

+ z + i

z − i 2

+ z + i

z − i

+ 1 = 0

2. Si a 0 , a 1 , · · · , a n sont des nombres complexes et

P (z) = a 0 + a 1 z + · · · + a n z ⁿ comment s'exprime P (z) − P (−z) ?

Résoudre

z ⁷ + 7

2

z ⁵ + 7

4

z ³ + 7

6

z = 0

3. Déterminer l'ensemble des réels x tels que

sin x + sin 2x < sin 3x 4. Montrer que

arctan 1 + arctan 2 + arctan 3 = π

5. Présenter dans un tableau les valeurs de arccos(|cos x|) et arcsin(|sin x|) dans les inter- valles

0, ^π ₂ , π 2 , π ,

π, ^3π ₂ , 3π 2 , 2π

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Exercice IV

Soit n un entier naturel non nul et k un entier relatif. On pose

P =

E(

)

X

p=0

(−1) ^p n

2p

X ^p

x k = (2k − 1)π 2n

1. Soit x un nombre réel qui n'est pas congru à ^π ₂ modulo π , montrer que cos nx = cos ⁿ x e P (tan ² x)

2. Montrer que

tan ² x _k , k ∈ Z = n

tan ² x _k , k ∈ n

1, 2, · · · , E( n 2 ) oo 3. Déterminer l'ensemble des racines de P .

4. Soit m un entier naturel non nul, exprimer les sommes et produits suivants en fonction de m

m

X

k=1

tan ² (2k − 1)π 4m

m

Y

k=1

tan ² (2k − 1)π 4m

m

X

k=1

tan ² (2k − 1)π 4m + 2

m

Y

k=1

tan ² (2k − 1)π 4m + 2

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