TP-2-INTEGRATIONS-FONCTIONS PAIRES-IMPAIRES-PERIODIQUES-INTGRATIONSPAR PARTIES-2009-2010

Tp n° MATHEMATIQUES – INTEGRATIONS BTS-GO 2009-2010 Exercice 1

On admet que lim cos( ) ^px 0

x x e^

  et lim sin( ) ^px 0

x x e^

  , pour tous réels 0et ^p0. 1. Calculer l’intégrale

( ) 0^xsin( ) ^pt

J x 



t e^ dt et en déduire la valeur de

( ) 0^xcos( ) ^pt I x 



t e^ dt^, En déduire l’intégrale

0 sin( ) ^pt

J 



^ t e^ dt et l’intégrale

0 cos( ) ^pt I 



^ t e^ dt 2. Calculer l’intégrale

( ) 0^xcos( ) ^pt

I x 



t e^ dt, puis l’intégrale

( ) 0^xsin( ) ^pt J x 



t e^ dt Vérifier que ₀ cos( ) ^pt p ₀ sin( ) ^pt

t e dt t e dt

      







.( on posera u' cos t et _{v e} ^pt )

En déduire la valeur de

0 cos( ) ^pt

I 



^ t e^ dt ^{et de} J 



0^sin( )t e^ptdt^. 3. Calculer

( ) 0^{x pt}

A x 



t e^ dt^, B x( )



0^xt e^{2 pt}dt . En déduire lim ₀^{x pt}

x t e^ dt





^et lim 0^{x 2 pt}

x t e^ dt





^.

Peut-on généraliser ces résultats ?

( ) 0^{x n pt}

I xn 



t e^ dt ^et F p_n( )



0^t e^{n pt}dt Exercice 2.

On considère le signal électrique représenté par la fonction numérique ^de la variable réelle ^t, paire , périodique de période ^2 et telle que : ( )t ²2tsi ^{t[0; / 2]} et ^{( ) 0t } si ^{t] / 2; ] } .

et dont la courbe représentée ci-dessous sur l’intervalle t [ 5 / 2;5 / 2]  . 1°. Tracer, dans un plan muni d'un repère orthonormal ( ; ; )O i j 

unité graphique1 cm), la courbe représentative de f sur [ 5 / 2;5 / 2]  

2°. Soit nN^*. à l’aide d’une intégration par parties, calculer en fonction de n : ^{I }

_

₀^{/ 2(22 )cost}

 

^{nt dt.}

3°. a. on donne bn ^{ ( 2 2 )sin}t

 

nt dt

  





  ^{Pour n1}, donner la valeur de bn. b. on donne 0 ²

1 ( 2 )

a 2 ^ t dt

  

 ^





 ^et an ₂^{1  ( 2 2 )cos}t

 

nt dt

  

 ^





 ^{.Calculer a0 et anpour nN*.} c. Montrer que, pour ^p1on a :^a_2p ^{1 ( 1)}₂ ^p

p

   .

d. En déduire , pour k0, la valeur de a4ket de a4k_2en fonction de k . e. Calculera2p_1 en fonction ^p.

Exercice-3

Soit la fonction numérique f de la variable réelle t telle que : ² ( ) 1 cos 2 0 f est impaire et de période

f t t si t





    



1) Etudier les variations de f sur [0 ; π]. Tracer, dans un plan muni d'un repère orthonormal ( ; ; )O i j  unité graphique1 cm), la courbe représentative de f sur [2π ; 2π].

2) Calculer la valeur efficace, Ef , de la fonction f.

3) On admet que, pour tout réel t, les nombres a0,anet bnsont définies par : an ^{1 } f t^{( )cos}

 

nt dt

 ^





^; bn ^{1 } f t^{( )sin}

 

nt dt

 ^





a) Calculer a0 . Justifier que, pour ^n0, an ⁰ b) Calculer b2.

c) Calculer bn pour ^n1et ^n2. (on précisera le résultat suivant la parité de n).

d) Calculer b1 ; b3 ; b5et b7

Exercice 4

1°) Soit n entier naturel non nul. On pose :^I_n 



₀^(t^{) cos( )2 nt dt et} J_n



0^(t)sin( )nt dt

Montrer en intégrant par parties, que :^J_n n

  et In ²₂

n

 

2°) On considère un signal périodique modélisé par la fonction ^t^{u t( )}, de période2 ,paire et définie par : ^{u t( ) }



^{t }



^{2pour t[0; ]}

a) Tracer dans un repère orthogonal ( ; ; )O i j 

la représentation graphique de la fonction u, pour t variant entre 2 et 6 .

b) Calculer 0

1 ( )

a 2 ^ u t dt

 ^





^{; an} _¹



^{u t( )cos( )nt dt.}

3°) On suppose désormais que le signal u est une tension appliquée aux bornes d'un circuit électrique.

Le carré de la tension efficace est donnée par la formule : ^{2 1 2( )}

eff 2

U ^u t dt

 





Calculer ^Ueff et donner une approximation décimale à 10^ près.

Exercice 5

1- Soit n un entier naturel. On appelle ^I_n l'intégrale :In



₀^{/ 2sin cos 2}t



nt dt



Calculer In. Vérifier que ¹ ₂

n 1 4

I  n

 .

2 - On considère un signal modélisé par la fonctionudéfinie sur ^R par ( )u t  sint . a) Montrer que la fonction u est  -périodique et paire.

b) Tracer, dans un repère orthonormal, la représentation graphique de la fonction u, pour t [ , 2 ] (unité graphique : 2 cm).

c) On note ^a_n ^_²



_^_^{/ 2}_{/ 2}^{u t( ) cos 2}



^{nt dt}



^{et bn }_²



_^_^{/ 2}_{/ 2}^{u t( )sin 2}

^

^{nt dt}

^

. Prouver, sans calcul, que ^b_n ^0. Calculer ^a₀ et ^a_n.

3 - On suppose que le signal uest une tension appliquée aux bornes d'un circuit électrique.

On note Ueff la tension efficace associée àu. Le carré de Ueff est alors : ^{2 / 2 2}

/ 2

1 ( )

U eff ^ u t

 





Calculer Ueff . Exercice 6

Soit la fonction f de la variable réelle t définie par : 1° Représenter graphiquement f sur [ 2, 6[.

2° soit ^{2 1 2}₂ ^{2( )}

e 4

f f t dt





 ^{.Calculer fe}la valeur efficace de f.

3° On donne ^{1 2}₂^{( 1)cos}

n 2

a t n tdt





  ^{et 2}2

1 ( 1)sin

2 2

n

b t n t dt



 

   

 



a) Donner la valeur de bn.

b) Calculer^a₀ et, pour n1, ^a_n( Préciser les valeurs de a2p et de a2p_1).

 

( ) 1 0;2

4 f t t pour t

f est paire

f est périodique de période

   





Exercice 1

0 0 0

( ) ^xsin( ) ^pt cos( ) ^{pt x x}cos( ) ^pt

J x 



t e dt^   t e^  p



t e dt^{ . J x( ) cos( )x epx 1 p}



₀^{xcos( )t e dtpt}

0 0 0 0

( ) ^xcos( ) ^pt sin( ) ^{pt x x}sin( ) ^pt sin( ) ^{px x}sin( ) ^pt I x 



t e^ dt t e^  p



t e^ dt x e^ p



t e^ dt

2

0^xcos( )t e^ptdtsin( )x e^px pcos( )x e^px  p p 0^xcos( )t e^ptdt

 



^{1 p2}

 _

₀^{xcos( )t eptdtsin( )x epx pcos( )x epx  p}



^{1 p2}

 _

₀^{cos( )t eptdt p}

 

2

0

cos( ) sin( ) cos( ) 1

1

x t e ptdt x e px p x e px p

p

      



 ^.

 

2

0 0

lim cos( ) cos( ) lim sin( ) cos( ) 1

1

x pt pt px px

x t e dt t e dt x x e p x e p

p

    

 

      

  









Or _x^{lim sin( )}_



^{x epx}



^{0 et} _x^lim_



^{pcos( )x epx}



^{0. Donc} 0

^{ }

^{2 2}

cos( ) 1

1 1

pt p

t e dt p

p p

    

 



Soit ^p0. l’égalité

0 0

( ) ^xcos( ) ^pt sin( ) ^{px x}sin( ) ^pt I x 



t e^ dt x e^  p



t e^ dt donc

0^cos( )t e^ptdt p 0^sin( )t e^ptdt

 

, on en déduit : ₀ 1 _{2 2}1

sin( )

1 1

pt p

t e dt

p p p

    

 



0 0

0

( ) sin( ) 1cos( ) cos( )

x pt pt x p x pt

J x t e dt^  t e^  t e dt^





      



 ^. 0

1 1

( ) cos( ) ^px p ^xcos( ) ^pt

J x   x e^   t e dt^

  



0 0 0

0

1 1

( ) cos( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( )

x pt pt x p x pt px p x pt

I x 



t e^ dt t e^  



t e^ dt x e^ 



t e^ dt

2

2 2 2

0 0

cos( ) 1sin( ) cos( ) cos( )

x pt px p px p p x pt

t e^ dt x e^ x e^ t e^ dt

       

   

 

2 2 2

2 0 2 2 2 0 2

1 p ^xcos( ) ^pt 1sin( ) ^px p cos( ) ^px p p cos( ) ^pt p

t e^ dt x e^ x e^{ } t e^ dt

             

 

       

 

 

2

2 2 2 2

0

cos( ) 1sin( ) cos( )

x pt px p px p

t e dt x e x e

p

     

        



2

2 2 2 2

0 0

lim ^xcos( ) ^pt cos( ) ^pt lim 1sin( ) ^px cos( ) ^px

x x

p p

t e dt t e dt x e x e

p

    

 

  

          

      









 

Or ^{lim 1sin( ) px 0}

x x e^



 

 

 

  et ^lim ₂ ^{cos( ) px 0}

x

p x e^



  

 

   . Donc

2

2 2 2 2 2

0 cos( ) ^pt p p

t e dt

p p

    

   

    

 



Soient  0et ^p0. l’égalité

0 0

( ) ^xcos( ) ^pt 1sin( ) ^px p ^xsin( ) ^pt I x  t e^ dt x e^  t e^ dt

 

 

^donc 0 cos( ) ^pt p 0 sin( ) ^pt

t e dt t e dt

      







^,

on en déduit : ₀ sin( ) ^pt ₂ p ₂ t e dt

p p

    



  ^et 0 sin( )t e ^ptdt ^{2 2}

p

    



  ^.

c. ₀ ^{cos( ) 1} ₀ ^{( ) 1} ₀ ^{( ) ( )}

2 2

pt i t i t pt p i t p i t

t e dt e e e dt e e dt

                  

  

1 1 1 1 _{2 2} 1 ₂2 _{2 2 2}

2 2 2

p i p i p p

p i p i p p p

      

   

          

 

d.

( ) ( )

0 0 0

2 2 2 2 2 2

1 1

sin( ) ( )

2 2

1 1 1 1 1 2

2 2 2

pt i t i t pt p i t p i t

t e dt e e e dt e e dt

i i

p i p i i

i p i p i i p i p p

                  

        

             

  

e. ^{(1 ) ( 1) ( 1)}

0 0 0

0

1 1 1

2 1 1

t pt p t p t p t

e e dt e dt e dt e

p p



          

      

  

^{avec Re( ) 1p }

f . ^{( 1) ( 1)}

0 0

0

1 1

1 1

t pt p t p t

e e dt e dt e

p p



         

      

 

^.

3. a. ^{f t( ) cos t} : ₀ 1 ₀ 1 ₀ ^{( ) ( )}

cos( ) ( )

2 2

pt it it pt p i t p i t

t e dt e e e dt e e dt

             

  

^{pour R pe( ) 0}

₀ 1 1 1 1 ₂ 1 2_{2 2}

cos( )

2 2 1 2 1 1

pt p i p i p p

t e dt

p i p i p p p

      

          



b. ^{g t( ) sin t} : ₀ ^{sin( ) 1} ₀ ^{( ) 1} ₀ ^{( ) ( )}

2 2

pt it it pt p i t p i t

t e dt e e e dt e e dt

i i

             

  

^{pour R pe( ) 0}

₀ 1 1 1 1 ₂ 1 ₂2 ₂1

sin( )

2 2 1 2 1 1

pt p i p i i

t e dt

i p i p i i p i p p

              



^.

Fonctions puissances _ttⁿ( n N *)

n = 1 Considérons la fonction f t1( )t U t( ), on obtient :

0

t e ptdt

 



On peut procéder à une intégration par parties, en posant : ^{u t( )t} et v t'( )e^pt, on obtient : ^{u t'( ) 1} et ( ) 1 ^pt

v t e

p

   d’où ( si p0). _{2 2}

0 0

0 0

1 1 1 1

x x

pt pt pt

x x

pt te pt te e px x

t e dt e dt e

p p p p p p p p

  

        

         

 

^.

On obtient pour ^p0 : 0 2 pt 1 t e dt

p

  



^.

n = 2 : ²

0

t e ptdt

 



. On peut procéder à une intégration par parties, en posant : u t( )t² et v t'( )e^pt, on obtient : ^{u t'( )t} et ^{v t( ) 1}_p^ept d’où ( si ^p0).

2 2

2

0 0 0

0 0

2 2

x x

pt pt

xt e ptdt t e xte ptdt t e xte ptdt

p p p p

 

        

   

   

  

, on remarque que _x^lim_^{x e2 px 0} et

0 2

lim ^{x pt} 1

x t e dt

p







 ^{d’où :} 0 ^{2 3}

pt 2 t e dt

p

  



^.

On sait déjà que pour ^p0 , F p0( ) 1

 p ; ^{F p1( ) 1}₂

 p et ^{F p2( ) 2}₃

 p .On peut procéder à une intégration par parties, en posant : u t( )tⁿ et v t'( )e^pt, on obtient : u t'( )nt^n1 et ^{v t( ) 1}_p^ept d’où ( si ^p0).

1 1

0 0 0

0

( )

n pt x n px

x n pt x n pt x n pt

n t e n x e n

I x t e dt t e dt t e dt

p p p p

 

       

    

 

 

  

^{; si p0}x^lim x e^{n px 0}

 

Donc l’intégrale

( ) 0 ^{n pt}

F pn 



^t e^ dt est convergente et _x^lim_^{I xn( )F pn( )}. supposons désormais ^p0. F p_n( ) nF_n 1( )p

p ^

 et 1 2

( ) 2 (

n n

F p n F p

  p  ; 2 3

( ) 2 (

n n

F p n F p

  p  ,…………

3( ) 3 2( )

F p F p

 p et ^{F p2( ) 2}_p^{F p1( ) 2}₃

  p donc on déduit de proche en proche que

( 1) ( 2) 3 2 1

( ) ( )

n n n n

F p F p

p p p p p

 

     , donc pour tout ^p0, ^{F pn( ) n}_p ⁽ⁿ_p^{1) (n}_p^{2) 3}_p ²_p ¹₂

p

 

     

On admet que n n⁽ ¹⁾⁽n2)...3 2 1  n! ( factoriel n ). Nous admettrons qu’on obtient ainsi de proche en proche les transformées de Laplace des fonctions_ttⁿ.On conclut que 1

( ) !

n n

F p n p ^

= .n N .

1

( ) !

( )

n n

F p a n

p a ^

 

 ; ^{p a 0} n et ⁿ¹ : ¹ 2

( ) 1

( )

F p a

  p a

 .

Exercice 2 1°.

   



 



  

 



2°. On pose u t( )²2t ; ^{u t( ) 2} et v t'( ) cos( ) nt ; ^{v t'( ) sin( )nt}

 n

 

^{2 / 2}

/ 2 2 / 2

0 0

0 / 2 / 2

0 2

0

( 2 )sin( ) 1

( 2 )cos ( 2 )(sin( ))

1 2 cos( ) 2

0 2 sin( ) 1 cos

2

t nt

I t nt dt nt dt

n n

nt n

I nt dt

n n n n

  

 

 

  

  



  

     

 

 

 

   

         

 



3°. La fonction f est paire donc bn ⁰.Or ^{( ) 0t } si t  ^[  ^; / 2[ ] / 2; ]  ,

b. 0 ^{/ 2 0} / 2 0^{/ 2} / 2

1 1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2

a ^ t dt ^ t dt t dt ^ t dt ^ t dt

       

    



  





















3 3 2

/ 2 2 / 2 2 2 2 / 2

0 0 0 0

2 1 1 1

( 2 ) ( 2 )

2 2 4 4

a ^  t dt ^  t dt  t t ^   

   

 

 





 



        

c. an ^{1  ( )cos( )}t nt dt ^{1 / 2 ( )cos( )}t nt dt ⁰ _{/ 2} ^{( )cos( )}t nt dt ₀^{/ 2 ( )cos( )}t nt dt ^_{/ 2} ^{( )cos( )}t nt dt

       

 



  

 

      

 

    

² ₀^{/ 2( 2 2 )cos( ) 2} ₀^{/ 2( 2 2 )cos( ) 2 2 2}₂ ^{1 cos 4}₂ ^{1 cos}

2 2

n

n n

a t nt dt t nt dt I

n n

        

   

     





 



            d. Si n est pair on a : ^{a2p }_{(2 )}⁴_p ²



^{1 cos}

 

^p



^ _p^{12(1 ( 1) )  p}

e.^{a4k }_{(4 )}⁴_k ²



^{1 cos 2}



^k

 

^{0 et a4k2}_(4k⁴_2)^2_^{1 cos }_^4k₂^{2}_^_^_(2k¹_1)²



^{1 cos (2}

^

^k1)

^ 

^_(2k²_1)²

 

f. 2 1 2 2 2

4 2 1 4 4

1 cos 1 cos

2 2

(2 1) (2 1) (2 1)

p

a p p

p p p

  



      

             . Exercice 3

1. f est dérivable sur ^{[0; ]} et f t'( ) 2sin(2 ) t ^{f t'( ) 0} équivaut à ^{sin 2t0 sin 2tsin 0}

t 2 k avec ^{k Z} donc t_2

sur ^{[0; ]} . Si ^{t[0; / 2] 2t[0; ]} et ^{sin(2 ) 0t } sur ^{[0; ]} donc ^{sin(2 ) 0t } sur^{[0; / 2]} .

Si ^{t[ / 2; ]  2t[ ;2 ] } et ^{sin(2 ) 0t } sur ^{[ ;2 ] } donc ^{sin(2 ) 0t } sur^{[ / 2; ] }

t 0 / 2 