FONCTIONS PERIODIQUES ET PROBLEMES NON LINEAIRES.

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FONCTIONS PERIODIQUES ET PROBLEMES NON LINEAIRES.

J. Bosquet

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J. Bosquet. FONCTIONS PERIODIQUES ET PROBLEMES NON LINEAIRES.. Journal de

Physique Colloques, 1979, 40 (C8), pp.C8-1-C8-7. �10.1051/jphyscol:1979801�. �jpa-00219506�

JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C8, supplément au N° 11, tome 40, novembre 1979, page C8- 1

FONCTIONS PERIODIQUES ET PROBLEMES NON LINEAIRES.

J. BOSQUET

Avenue Fond' Roy 70 B - 1180 Bruxelles - Belgique

Résumé. - Considérons un système vibrant défini par des grandeurs caractéristiques liées entre elles par des équations algébriques ou différentielles non linéaires. II. est évident que l'état vibratoire du système dépendra complètement de la nature de la source des vibrations.

Supposons, par exemple, que l'une des grandeurs caractéristiques soit, dans une région déter- minée, une fonction périodique du temps dont la valeur moyenne est nulle. La valeur moyenne d'une autre grandeur sera dès lors nécessairement fonction de la condition imposée.

Cette question est étroitement liée au fait que la différentielle d'une fonction, d'ordre su- périeur au premier, dépend de la (des) variable(s) indépendante(s) choisies.

Application au calcul des valeurs moyennes de la pression dans un champ acoustique non li- néaire.

SUMMARY. - Let us consider a vibrating system defined by characteristic quantities bounded together by algebraic or differential nonlinear equations. It is obvious that the state of vibration of the system shall be completely dependent of the actual source of vibrations.

If, as an example, one of the characteristic quantities is, in one region, a periodical func- tion of time with a zero value, the meam value of an other quantity shall depend of this imposed condition.

That question is narrowly bounded to the fact that the differential of a function, of higher order than the first, is depending of the choice of the independant variable(s).

Application to the computation of the mean value of pressure in a nonlinear acoustic field.

1. INTRODUCTION. - 1.1. - La résolution par appro- ximations successives de problèmes non linéaires est un procédé courant et commode. D'un point de vue théorique, rappelons (4) qu'il peut être rat- taché au Calcul des Variations suivant par exemple l'élégant algorithme mis au point par mon vénéré maître Th. De Donder (1930) (7) inspiré d'ailleurs des "équations aux variations" d'Henri Poincaré.

Les approximations successives sont alors les va- riations premières, secondes, etc.. des grandeurs considérées. On sait également, â ce propos, que l'étude de perturbations, fluctuations du premier ordre ou "petits mouvements" est facilitée non seulement par le fait que les équations de départ sont linéarisées, mais également du fait que les variations du premier ordre ont une forme inva- riante quant au choix des variables indépendantes.

Si l'on désire pousser l'approximation aux termes d'ordre supérieur, le choix des variables indépen- dantes devient essentiel. Ce fait peut être la source d'erreurs.

1.2. - Un moyen de les, éviter avec sécurité con- siste â utiliser la notion de différence finie aux termes du ne ordre près. Pratiquement, on pro- cédera en deux temps, comme indiqué ci-après sur l'exemple simple de l'évolution adiabatique d'un

gaz parfait'â partir d'un état connu p , v : En désignant par p et v les fluctuations de la pression du volume spécifique à partir de l'état de référence et en posant m i p/p et « > É v/v , on aura

(1 + s) (1 + v )Y = 1 (1.1)

Premier temps : on développe jusque s e t y compris les termes du ( n - l )e o r d r e ( i c i n = 3) :

1 2

O + Y V + Y Œ V + i - Y ( Y " 1) •f = 0 . ( 1 . 2 ) S'il s'agissait de petits mouvements, on aurait

O + y f = 0. (1.3) Deuxième temps : pour la résolution pratique de

(1.2), on remplace a et v> par ra1 + ra2 et Vj + <?2 >

les indices 1 et 2 caractérisant la 1ère et la 2ëme approximation. On obtient ainsi les deux équations

Bj + Y fl = 0 , (1.4)

n

2 +

y *2

^{+ Y B}

i ^ î

+

7

^y

(

^y

" ^ A .

⁼

° ' f

1

*

5

)

invariantes quelle que soit la dépendance de n et de <P vis-à-vis d'autres variables éventuelles.

Article published online by EDP Sciences and available at

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1979801

c8- 2 JOURNAL DE PHYSIQUE

Remarquons également que l ' o n peut t r è s a i s é - ment exprimer GJ en f o n c t i o n de 9 ou 9 en f o n c t i o n de E, à p a r t i r de (1.2) ou de (1.5) en y s u b s t i t u a n t JJ par -y 9 ou 9 par -W/y ( t i - rées de 1.3). ( I l va de s o i que v 2 ou JJ2 ne peuvent ê t r e , dans 1 'approximation c h o i s i e , que

2 2

q1 OU al). On o b t i e n t a i n s i :

1 2

a = g t a = - y 4 ' + 2 y ( y + 1 ) ~ 1 ,

1 2 (1.6)

C e t t e méthode e s t générale e t s ' a p p l i q u e à des équations d i f f é r e n t i e l le s ou aux dérivées par- t i e l l e s , comme nous l e verrons ci-après.

1.3.

-

^Il e s t évidemment p o s s i b l e d ' o b t e n i r l e s mêmes r é s u l t a t s en procédant par d i f f é r e n t i a t i o n s successives, mais sans c o n f é r e r de r ô l e p r i v i l é g i é à aucune des v a r i a b l e s , c J e s t - à - d i r e d i f f é r e n t i a - t i o n s successives s u i v a n t l a méthode préconisée par Hadamard. (1.3).

.

Ce n ' e s t q u ' e n s u i t e que 1 'o n d é f i n i r a l e cas échéant q u e l l e ( s ) v a r i a b l e ( s ) e s t ( s o n t ) indépen- d a n t e ( ~ ) , s u i v a n t l a n a t u r e du problème posé. Par- t a n t , dans l e même exemple que ci-dessous, de l ' é q u a t i o n p vY = p vY (où p e t v désignent

O O

c e t t e f o i s l a p r e s s i o n e t l e volume s p é c i f i q u e t o - taux), on aura, à p a r t i r de l ' é t a t po, vO

,

V, 6p + yPo 6v = 0

s o i t ( 4 ) s i l ' o n pose W1 = 6p/po e t = 6v/vo.

En d i f f é r e n t i a n t deux f o i s , on o b t i e n t

2 2

6pfi;l i - v 6 p t y 6 p 6 v t y p 6 v = O

2 2

s o i t , avec

a2

= 1/2 6 p/po e t q 2 = 1/2 6 v/vo

.

é q u i v a l e n t e à ( 5 )

,

grâce à ( 4 ) .

1.4.

-

J ' a i c r u q u ' i l n ' é t a n t pas i n u t i l e d ' i n s i s - t e r s u r c e t t e q u e s t i o n élémentaire, car on cons- t a t e que c e r t a i n s auteurs o n t c r u p a r f o i s p o u v o i r a t t r i b u e r une v a l e u r u n i v e r s e l l e à de: ,xpressions du second o r d r e q u i , en f a i t , dépendaient des va- r i a b l e s indépendantes c h o i s i e s . La n a t u r e des con- d i ti o n s imposées, s o i t locales, s o i t aux 1 im i t e s , peut p a r f o i s , à première vue, d i s s i m u l e r c e t t e

dépendance. Le c a l c u l des pressions de r a d i a t i o n en acoustique c o n s t i t u e un exemple t y p i q u e de l ' i n - f l u e n c e des c o n d i t i o n s imposées sur l a v a l e u r de <p>

.

La présente note e s t consacrée à c e t t e question, q u ' i l s e r a i t sans doute i n t é r e s s a n t de reprendre également dans d ' a u t r e s domaines de l a physique.

Il c o n v i e n t d ' ê t r e p a r t i c u l i è r e m e n t a t t e n t i f à l a cohérence de c e r t a i n e s hypothèses ( c f . notam- ment l e

5

4 de l a n o t e ) .

1.5.

-

Un a u t r e exemple t y p i q u e e s t c e l u i des v i - b r a t i o n s d'un m i l i e u c o n t i n u pour l ' é t u d e des- q u e l l e s on u t i l i s e s o i t l e s v a r i a b l e s de Lagrange, s o i t l e s v a r i a b l e s d ' E u l e r . Le choix e s t i n d i f f é - r e n t s i 1 'on se l i m i t e aux " p e t i t s mouvements", ou approximations du premier ordre, en dehors de surfaces de d i s c o n t i n u i t é (Poirée, 1977) (17), mais s i l ' o n d é s i r e pousser l e s approximations au delà, l e choix d e v i e n t e s s e n t i e l . Toute confusion con- d u i t nécessairement à des e r r e u r s ou à des para- doxes, comme Léon B r i l l o u i n (16) l ' a d é j à s i g n a l é en 1925. La f o r m u l a t i o n lagrangienne e s t en général l a seule q u i s o i t à l a f o i s commode e t e f f i c a c e . Pour ma p a r t , j ' a i

,

depuis longtemps, enseigné l e s bases de l ' a c o u s t i q u e t h é o r i q u e en u t i l i s a n t en o r d r e p r i n c i p a l l e s v a r i a b l e s de Lagrange (5), s u i v a n t l a méthode v a r i a t i o n n e l l e de De Donder rappelée c i - a v a n t .

1.6.

-

Du p o i n t de vue q u i nous a préoccupé, il e s t également opportun de r a p p e l e r q u ' i l y a deux espèces de f o n c t i o n s périodiques : c e l l e s d o n t l a valeur moyenne temporelle e s t n u l l e e t c e l l e s dont l a moyenne temporelle e s t d i f f é r e n t e de zéro.

2. EXEMPLES ELEMENTAIRES. 2.1.

-

Ondes acoustiques planes dans un gaz p a r f a i t .

2.1.1.

-

Equations générales.

-

Coordonnées de Lagrange : x,y,z,t.

u : é l o n g a t i o n (déplacement), p : excès de l a masse s p é c i f i q u e ,

p : excès de l a p r e s s i o n ou'pression acoustique.

Les i n d i c e s t e t x i n d i q u e n t l a d é r i v a t i o n par- t i e l l e par r a p p o r t à t e t x.

Equation du mouvement : p o Utt

+

^{px = 0.} (2.1)

J.

BOSQUET

C8- 3

Equation de continuité

:

( ~ + P / P ~ ) (l+uX)

=

1. (2.2) Transformation adiabatique

:

1

+

p/p0

=

( ~ + P / P ~ ) ~ .

2.2.2. - Energie volumique d'une onde simple. - Dans le cas d'une onde plane simple, dans l'appro- ximation linéaire, l'énergie volumique est donnée par les expressions bien connues ci-après, qui se- ront prises

à

titres de références dont le sens physique est immédiat

:

2.1.3. - La dilatation linéaire est une fonction périodique

à

moyenne nulle. - Supposons qu'en une tranche du fluide, on impose une dilatation li- néaire telle que <ux>

=

O. En éliminant

P

entre 2.2 et 2.3, on obtient, au 3ème ordre près

:

dont on déduit, d'après 2.7, en la tranche consi- dérée

:

Cette expression appel le plusieurs remarques

:

a) pour 1 'obtenir, i l n'a pas été nécessaire de prendre en considération 1 'équation du mouve- ment 2.1

;

b) <p> est une constante dans toute l'éten- due de l'onde, car

CE> =

O. Remarquons,

à

ce

X

propos, que si <p> était fonction de x, il ré- su1 terai t de 1 'équation du mouvement 2.1 que le fluide serait soumis, en tout point de l'onde,

à

une accélération permanente non nulle, ce qui est absurde

;

c) la formule 2.9, sous une forme légèrement différente, a été obtenue par

L .

Brillouin

(6.p. 537,

(9))

en faisant implicitement l'hypo- thèse que <ux>

=

O. L'expression de Brillouin est (1 + dlncldlnp)

<E>.

or dlncjdl np

=

, en vertu de 2.3 et avec c2

=

dp/dp .

2.1.4. On se donne

<p> = 0.

- Dans ce cas, l'équa- tion 2.3 de la transformation thermodynamique,

à

elle seule, fournit la réponse

:

2 2 2

p

= Co

P

+ (Y

- ¹⁾

^Co

^{P /Zoo (2.10)}

d'où

2.1.5. Onde simple produite par un piston vibrant.- Considérons un piston rigide animé d'un mouvement alternatif tel que

En éliminant p et p entre 2.1, 2.2 et 2.3, nous obtenons la célèbre équation dtEarnshaw (1959) (9).

Utt =

c o u 2

+

u.~) -(Y+l) uxx (2.12) Earnshaw a montré que cette équation admettait une intégrale première

Y-1

ut

=

2 c, l(1 + u,) -

^{: (Y}

-

^{1 )}

^(2.13)

qui , par inversion, donne

ainsi que, en vertu de la première égalité

2.8,

soit, au 3ème ordre près,

P

=

Po

Co

ut + 1/4(~

+

1) Po ut 2

9

(2.16) d'où, dans 1 'hypothèse <ut>

=

O au droit' du pis- ton

résultat obtenu par Fubini Ghiron (1935) (11) au terme d'une analyse beaucoup plus complexe, et confirmé ultérieurement par Westervelt (1950) (13) Remarquons qu ' i 1 n'est pas nécessaire d' intégrer complètement 2.12 pour obtenir ce résultat.

2.1.6. Pression locale ou eulérienne. - ^{En un}

point fixe de l'espace, on a, au 3ème ordre près,

CE- 4 JOURNAL DE PHYSIQUE

Pour c a l c u l e r pE

,

il s u f f i t donc de d é t e r - miner u e t utt au premier ordre, s o i t dans

l ' h y p o t h è s e de l ' a c o u s t i q u e c l a s s i q u e : ut = w U cos(wt

-

^{k x ) .}

Il s ' e n s u i t que uutt =

-

^ut 2 e t , avec <p> don- né p a r 2.17,

r é s u l t a t également obtenu par F u b i n i Ghiron en 1937 (12) e t confirmé par Westervelt (19). La pre- mière formule 2.19 e s t à l ' o r i g i n e de l a formule de Langevin, <p> = <E>

,

p r e s s i o n de r a d i a t i o n exercée s u r un o b s t a c l e p l a n "absorbant" perpendi- c u l a i r e à l a d i r e c t i o n de propagation d'une onde quasi-plane d'étendue l a t é r a l e l i m i t é e . R.T. Beyer

(1978) (1) a rappelé récemment avec élégance c e t t e démonstration h e u r i s t i q u e .

2.1.7. On impose une v a r i a t i o n l o c a l e de tempéra- t u r e .

-

S o i t T 1 'excès de l a température. L'équa- t i o n d ' é t a t d'un gaz p a r f a i t s ' é c r i t a l o r s

D'où, grâce à 2.2, au 3ème o r d r e près :

P/P, + Ux + pux/po = TITO

,

^(2.21)

puis, grâce à l a deuxieme é g a l i t é 2.8,

Ensuite, par i n v e r s i o n :

s o i t , e n f i n , par s u s t i t u t i o n dans 2.21,

et, dans l ' h y p o t h è s e 09 <T> = 0,

O r , d'après 2.5 e t 2.24,

2.25 peut s ' é c r i r e a l o r s

2.2. Le résonateur de Helmholtz.

-

^{S o i t V l e vo-}

lume du résonateur, s l a s e c t i o n du c o l e t u l e déplacement du gaz dans l e c o l , p o s i t i f vers V.

L ' é q u a t i o n /2.3/ peut s ' é c r i r e a l o r s

s o i t , au 3ème o r d r e près,

En première approximation, l ' e x c è s de pres- s i o n dans l e résonateur e s t égal dès l o r s à Y po SU/V

,

e t l ' é n e r g i e p o t e n t i e l l e volumique correspondante

Il r é s u l t e a l o r s de 2.29 que s i 1 'on s o l l i - c i t e l e gaz dans l e c o l de façon t e l l e que

<u> = O, on a

On constate donc un excès de p r e s s i o n moyen p o s i t i f dans l e résonateur. D'après Lord Rayleigh, (18

-

^II, p. 42) ce f a i t a é t é démontré expérimen- talement e t indépendamment par Dvorak (18) e t Mayer (16) il y a un s i è c l e , mais l e c a l c u l j u s t i - f i c a t i f de Rayleigh e s t s u j e t à c a u t i o n : l e coef- f i c i e n t y

+

1 f a i t d é f a u t .

2.3. Les tarmes d ' o r d r e supérieur.

-

Dans l e cas de l a propagation d'une onde plane simple, F u b i n i Ghiron (11) e t , depuis 1962, D.T. Blackstock (3) o n t montré 1 'importance des termes d ' o r d r e supé- r i e u r au second. Citons également l a remarquable étude de A.D. Fokker (10) (1938) concernant l e s s o l i d e s i s o t r o p e s ou non.

3. LE TUBE DE LONGUEUR FINIE.

-

3.1.

-

Je me s u i s proposé i c i d ' o b t e n i r

-

t o u j o u r s aux termes du 3ème o r d r e près

-

l e s v a l e u r s de u e t de p e t , par v o i e de conséquence, de <u> e t de <p>

,

dans un tube de longueur f i n i e , s o l l i c i t é en x = O par un p i s t o n r i g i d e v i b r a n t sinusoldalement en f o n c t i o n de t, l ' e x t r é m i t é , x = a é t a n t fermée par une p a r o i r i g i d e . Je me s u i s l i m i t é au pro- blème de l ' é t a t de régime. On o b t i e n t a i n s i , sou- l i g n o n s - l e , une s o l u t i o n s t a b l e : l e s termes d ' i n s t a b i l i t é q u i f i g u r e n t dans l e s formules r e l a - t i v e s s o i t à l a propagation d'une onde simple,

3 . BOSQUET _{C 8 - 5}

s o i t aux v i b r a t i o n s propres d ' u n tuyau fermé aux deux extrémités, o n t d i s p a r u . Subsiste évidemment

l ' i n s t a b i l i t é correspondant à l ' e x c i t a t i o n du tuyau par une de ses fréquences propres.

Sou1 ignsns encore ( c f . i n t r o d u c t i o n ,

5

1.5) que l a s o l u t i o n d ' u n problème de c e t t e nature n ' e s t pratiquement p o s s i b l e qu'en u t i 1 is a n t l e s v a r i a b l e s de Lagrange. En v a r i a b l e s d ' E u l e r en e f f e t , l a con- d i t i o n imposée en x ⁼ O, s o i t u1 = U sinwt, d o i t s ' é c r i r e uE

+

uE U: = U sinwt, formule au demeu- r a n t peu agréable, sans compter qu'au système des équations eulériennes habi tue1 l e s , il c o n v i e n t d ' a j o u t e r l a r e l a t i o n q u i r e l i e vE à uE :

N é g l i g e r l e s termes b i l i n é a i r e s c o n s t i t u e une faute.

3.2. Formules générales.

-

Développons l ' é q u a t i o n générale 2.12 jusqu'au second ordre. Il v i e n t :

Pour l e c a l c u l de p, r é c r i v o n s 2.8 sous l a forme

Posons, conformément à l a méthode du fj 1.2,

Dès l o r s , à p a r t i r de 3.1, on o b t i e n t l ' é q u a t i o n c l assique

Ultt = C 2 U

O l x x (3.4)

a i n s i que

I n t r o d u i s o n s 1 e changement de v a r i a b l e s c l assique

où w e s t une constante a r b i t r a i r e e t k f w/c

.

Nous obtenons t o u t d'abord, à p a r t i r de /3.4/, l a s o l u t i o n c l a s s i q u e de d'Alembert

e t 3.5 p e u t s ' é c r i r e , avec l e s n o t a t i o n s

f ' 2

ayf, g l = azg A

,

e t c :

u = 1/4 k ( y

+

1) ( f '

-

9 ' ) ( f "

+

g " ) (3.8)

~ Y Z

q u i , par i n t é g r a t i o n immédiate en y e t z, donne

équation obtenue il y a p l u s de 40 ans par F u b i n i Ghiron ( 1 1

-

p. 41) sous une forme moins maniable.

Cet auteur a renoncé à e f f e c t u e r l ' i n t é g r a t i o n de /3.9/ dans l e cas général, mais a obtenu l a s o l u - t i o n (3.24) dans l e cas p a r t i c u l i e r où

ka = (4n

+

1) a / 4

.

Ceci montre l ' i n t é r ê t de nota- t i o n s aussi simples que possible, t e l l e s que, ce1 l e s u t i 1 isées c i -après, pour résoudre un problème com- plexe. A p a r t i r , de ul e t u2, on c a l c u l e p par /3.2/ q u i , grâce à /3.3/, s ' é c r i t

2 2 2

p = -p _O c _O ( U l x

+

uZx)

+

1/2 Po c 0 ( y

+

1) ulX. (3.10) Ces deux d e r n i è r e s formules permettent d'ob- t e n i r l e s s o l u t i o n s classiques de l ' o n d e plane sim- p l e , ou des o s c i l 7 a t i o n s l i b r e s dans un espace c l o s unidimensionnel, aux termes du 3ème o r d r e près.

3.3. S o l u t i o n du problème posé au

5

3.1.

-

^Données

aux l i m i t e s :

u1 = U s i n w t x = a : ul = u2 = 0.

x = O : (3.11)

U 2 = O Notations u t i l i s é e s :

X

2

kx, -i-

2

ut, a 4 ka

.

(3.12)

A p a r t i r de /3.7/, nous obtenons l a s o l u t i o n tri- v i a l e

f ( r

-

X) =

- ^U

^{cos ( T}

-

^{X + a )} / 2 sina, (3.13) g ( r

+

X) = U cos ( r

+

X - a ) / 2 s i n a

,

(3.14) u1 = U s i n ( X

-

a ) s i n -clsina. (3.15) Ajoutons a l o r s l e s n o t a t i o n s

2 2

8 (y

+

1)kU /32 s i n a, h

P

6 - 1 ~ e t !La= B-l~. (3.16) 3.9 d e v i e n t a l o r s , grâce à 3.13 e t 3.14 :

C 8 - 6 JOURNAL DE PHYSIQUE

OU encore

6 - l ~ ~ = h(r-X)+R(r+X)

+

X-X cos 2(X-a) cos 2r

-

^T s i n 2(X-a) s i n 2+

+

2 s i n 2(X-a). (3.17) La c o n d i t i o n u2 = O aux l i m i t e s nous per- met de c a l c u l e r l e s f o n c t i o n s ' h e t

L.

Nous avons h ( ~ ) + R ( T ) =

-

^T s i n 201 s i n 2 r

+

2 s i n 2a, (3.18) h ( r - a ) + R(r+a) =

-

^a

+

^{01 cos 2r.} (3.19)

L ' é l i m i n a t i o n de t ( r ) permet d ' é c r i r e h(T-20.)- h ( ~ ) = T s i n 2a s i n 2 r

+

+

a cos 2(r-a)-a-2 s i n a (3.20) La s o l u t i o n de c e t t e équation f o n c t i o n n e l l e s ' o b t i e n t en posant

On o b t i e n t

h ( r ) = 1/2 -c cos 2 ( ~ + c l ) - cc s i n 2 ~ / s i n 2a

+ +

(1/2

+

s i n 2 a l a ) r

+

P (3.21) où P = Pér ( 2 a n ~ / 2 a ) correspond aux fréquences propres compatibles avec l a c o n d i t i o n u2 = O aux e x t r é m i t é s . Nous pouvons n é g l i g e r ce terme (du premier o r d r e ) q u i ne nous i n t é r e s s e pas pour 1 ' i n s t a n t . Les résonances correspondant aux f r é - quences propres a p p a r a î t r o n t automatiquement dans l e s formules f i n a l e s /3.24/ e t /3.25/. /3.18/ nous donne e n s u i t e R ( r ) , puis, en revenant aux v a r i a - b l e s x e t t, nous avons

u1 = U s i n k ( a

-

x) s i n w t / s i n ka (3.22) ulx =

-

k U cos k(a

-

x ) s i n w t / s i n ka (3.23) a i n s i que

+

(a-x) s i n 2ka

-

^{a s i n}

ka (3.24)

La présence du second terme, f o n c t i o n de x mais indépendant du temps, m é r i t e d ' ê t r e s o u l i g n é e .

3.10 nous f o u r n i t a l o r s l a p r e s s i o n lagrangienne

p/p, c i = k U COS k(a-x) s i n w t / s i n ka

+

{

s i n 2ka

I + T -

-

^[l

+

^{ka 'Os 2kx}

-

kx s i n 2k(a-x) s i n 2ka

Nous en déduisons l a v a l e u r moyenne (non f o n c t i o n de x)

<p> = 6 0 ( y + l ) ~ 2 ~ 2 ( 1 + s i n 2ka/2ka)/8 s i n ka (3.26) 2 a i n s i que l a p r e s s i o n eulérienne, en un p o i n t f i x e , grâce à /2.18/ ( f o n c t i o n de x)

<p E > = <p>-pou2~2[1- cos 2k(a-x)]/4 sin2ka (3.27)

Les énergies c i n é t i q u e s e t p o t e n t i e l l e s moyennes se c a l c u l e n t aisément à p a r t i r de /3.22/. Nous avons :

ult = w U s i n k(a-x)cos w t / s i n ka e t < E ~ ~ ~ > =

= Po w2 l? s i n 2 k(a-x)/4 s i n 2 ka (3.28) ulx =

-

k U cos k(a-x) s i n w t / s i n ka e t <E > =

P

2 2 2 2

= po w U cos k(a-x)/4 s i n ka (3.29) 3.27 prend a l o r s l a forme remarquable :

e t 3.26 peut a l o r s s ' é c r i r e , avec E = E~~~

+

<p> = 1/2(y

+

1) (1

+

s i n 2ka/2ka) CE> .(3.31) Remarquons également que <p> e s t une cons- t a n t e dans l e tuyau, t a n d i s que <p E > dépend de x.

11 s e r a i t c e r t e s i n t é r e s s a n t de c o n t r ô l e r expérimentalement l a v a l i d i t é de ces d i v e r s e s f o r - mules e t , notamment, de m e t t r e en évidence l e s r é - sonances q u ' e l l e s i m p l i q u e n t , lorsque ka = nm ou a = nX/2. Enfin, on v é r i f i e aisément que l a p u i s - sance moyenne f o u r n i e par l a source e s t n u l l e .

Lorsque l e tuyau e s t t r è s c o u r t (ka << l ) , /3.26/ donne

formule q u i p e u t d ' a i l l e u r s ê t r e d é d u i t e du

5

2.2 en posant V = as e t su = SU s i n u t ; e l l e a é t é donnée par Lucas (1965) (15) mais avec y = 1,

J. BOSQUET

en déduction de l a formule de Langevin, non a p p l i -

c a b l e i c i . REFERENCES

4. LES FORMULES DE KING ET DE LANGEVIN.

-

^Suivant

en f a i t un raisonnement de Rayleigh (18, II, p.42), King (1934 (14) a é t a b l i , en v a r i a b l e s d ' E u l e r , l e s équations exactes ci-après, où IP représente l e p o t e n t i e l des v i t e s s e s e t dt =

at + Y 7

:

S i , avec Rayleigh, on admet que <atq> = 0, on o b t i e n t l a formule

à l a q u e l l e de nombreux auteurs a t t r i b u e n t une va- l e u r u n i v e r s e l l e , ce q u i e s t évidemment i n e x a c t .

Si, avec Biquard (1932) (2) on admet, de façon t o u t aussi s u p e r f i c i e l lement vraisemblable, que <dt9> = 0, /4.2/ f o u r n i t a l o r s l a formule de Langevin :

<p> = <& >

+

^<&

P c i n > = (4.4)

f o r t u t i l e dans des cas b i e n p r é c i s , comme rappelé par Beyer (1) ( c f .

5

2.1.6). Il ne f a u t pas perdre de vue, notamment que IP e s t une f o n c t i o n d é f i n i e à une f o n c t i o n du temps près, que l ' o n ne peut supposer n u l l e à p r i o r i dans l ' h y p o t h è s e de v i b r a - t i o n s non 1 in é a i r e s .

En conclusion, soulignons l e f a i t que King lui-même a é c r i t , avec beaucoup de prudence (14, p. 239, n06) : "En général, l a p r e s s i o n de r a d i a t i o n s u r une p e t i t e sphère ne dépend pas des s p é c i f i c a t i o n s l o c a l e s du champ, mais de l a n a t u r e du champ considéré dans son ensemble, en f o n c t i o n du mode de g é n é r a t i o n des ondes sonores". J ' a i é t é heureux de t r o u v e r , dans c e t énoncé t r è s c l a i r , l a c o n f i r m a t i o n de ce que j ' a i t e n t é de montrer i c i .

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