Chapitre 11
Calcul intégral
11.1 Intégrale d’une fonction continue
On rappelle la définition 5.2 (voir page 42) où on avait définil’intégraled’une fonction continue : Définition 11.1
Soitf une fonction définie surI un intervalle deRet admettant la fonctionF comme primitive surI. Siaetbsont deux réels deI, on appelle intégrale dea àb def(x)dxle réelF(b)−F(a).
On note : ! b a
f(x)dx= [F(x)]ba=F(b)−F(a)
11.2 Aire sous une courbe
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a; b]. On note Cf sa courbe repré- sentative dans un repère orthogonal (O;!i,!j).
L’unité d’aire (u.a.) est le rectangle construit sur les vecteurs unitaires de ce repère.
On admettra le résultat suivant : Propriété 11.1
L’intégrale de a à b def(x)dx est égale à l’aire délimitée par l’axe des abscisses, la courbe Cf
et les droites d’équations x=a et x=b.
!i
!j
Cf
a b
"b af(x)dx 1 u.a.
Exemple 11.1
Soit f la fonction définie sur [2 ; 5]par f(x) = −x2+ 7x−10. SoitCf sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité : 1cm). Déterminer l’aire sous la courbe entre 2et 5.
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72 Calcul intégral Soit F une primitive def sur[2 ; 5] : F(x) = −13x3+72x2−10x. On a donc :
A =
! 5 2
f(x)dx= [F(x)]52 =F(5)−F(2) = 9 2 cm2
!i
!j
Cf
"5
2 f(x)dx 1 cm2
11.3 Valeur moyenne
Définition 11.2
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b] aveca < b.
On appelle valeur moyenne de la fonction f sur[a;b] le réel 1 b−a
! b a
f(x)dx.
Exemple 11.2
En reprenant la fonction de l’exemple 11.1, la valeur moyenne de la fonctionf entre 2 et 5 est : 1
5−2
! 5 2
f(x)dx= 1 3× 9
2 = 3 2 Propriété 11.2 (admise)
Sif est une fonction continue sur un intervalle[a;b]aveca < b, alors il existe un réelc∈[a; b]
tel que f(c) est égal à la valeur moyenne de la fonction sur[a; b]; c’est-à-dire tel que : (b−a)f(c) =
! b a
f(x)dx Remarque 11.1
Cette propriété signifie qu’il existe un réel c∈ [a;b] tel que l’aire sous la courbe entre a et b est égale à l’aire du rectangle de largeur b−a et de hauteur f(c).
!i
!j
Cf
a c b
f(c)
Sur la figure ci-dessus, l’aire coloriée en bleu et l’aire hachurée en rouge sont égales.
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11.4 Propriétés de l’intégrale 73
11.4 Propriétés de l’intégrale
Théorème 11.1 (linéarité)
Soitf etg deux fonctions continues sur un intervalle[a; b]et soitλ un réel quelconque. Alors :
! b a
(f +g)(x)dx=
! b a
f(x)dx+
! b a
g(x)dx
! b a
(λf)(x)dx=λ
! b a
f(x)dx
Remarque 11.2
Si f est une fonction continue sur [a; b] etnégative sur cet intervalle, alors la fonction −f est aussi continue sur [a;b] mais positive sur cet intervalle. On a donc :
! b a
f(x)dx=−
! b
a −f(x)dx=−A
Ainsi l’intégrale de a à b d’une fonction négative est donc l’opposé de l’aire délimitée par Cf, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a etx=b.
!i
!j
Cf
a b
−"b
af(x)dx 1 u.a.
Théorème 11.2 (positivité)
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b].
– Si f est positive sur [a; b], alors "b
af(x)dx≥0.
– Si f est négative sur [a; b], alors"b
a f(x)dx≤0.
Théorème 11.3 (ordre)
Soit f etg deux fonctions continues sur un intervalle[a; b]telles que pour tout x∈[a; b] on a f(x)≤g(x). Alors :
! b a
f(x)dx≤
! b a
g(x)dx
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74 Calcul intégral
!i
!j
Cg
Cf
a b
Sur la figure ci-dessus, pourx∈[a; b] on af(x)≤g(x). L’aire hachurée en rouge (intégrale de f entre a etb) est inférieure à l’aire coloriée en bleu (intégrale de g entrea etb).
Propriété 11.3 (relation de Chasles)
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b] et soitc∈[a; b]. Alors :
! b a
f(x)dx=
! c a
f(x)dx+
! b c
f(x)dx
!i
!j
a c b
Cf
"c
a f(x)dx "b c f(x)dx
Propriété 11.4 (Aire entre deux courbes)
Soit f etg deux fonctions continues sur un intervalle[a; b]telles que pour tout x∈[a; b] on a f(x)≤(x). Alors, la surface délimitée par les courbesCf etCg ainsi que les droites d’équations x=a etx=b vaut :
A =
! b a
(g(x)−f(x))dx
!i
!j
Cg
Cf
a b
Cf
A
A ="b
a(g(x)−f(x))dx
1 u.a.
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