11.3 Valeur moyenne

(1)

Chapitre 11

Calcul intégral

11.1 Intégrale d’une fonction continue

On rappelle la définition 5.2 (voir page 42) où on avait définil’intégraled’une fonction continue : Définition 11.1

Soitf une fonction définie surI un intervalle deRet admettant la fonctionF comme primitive surI. Siaetbsont deux réels deI, on appelle intégrale dea àb def(x)dxle réelF(b)−F(a).

On note : ! b a

f(x)dx= [F(x)]^b_a=F(b)−F(a)

11.2 Aire sous une courbe

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a; b]. On note Cf sa courbe repré- sentative dans un repère orthogonal (O;!i,!j).

L’unité d’aire (u.a.) est le rectangle construit sur les vecteurs unitaires de ce repère.

On admettra le résultat suivant : Propriété 11.1

L’intégrale de a à b def(x)dx est égale à l’aire délimitée par l’axe des abscisses, la courbe Cf

et les droites d’équations x=a et x=b.

!i

!j

Cf

a b

"b af(x)dx 1 u.a.

Exemple 11.1

Soit f la fonction définie sur [2 ; 5]par f(x) = −x²+ 7x−10. SoitCf sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité : 1cm). Déterminer l’aire sous la courbe entre 2et 5.

T.Rey - Cours de Terminale ES

(2)

72 Calcul intégral Soit F une primitive def sur[2 ; 5] : F(x) = −¹₃x³+⁷₂x²−10x. On a donc :

A =

! 5 2

f(x)dx= [F(x)]⁵₂ =F(5)−F(2) = 9 2 cm²

!i

!j

Cf

"5

2 f(x)dx 1 cm²

11.3 Valeur moyenne

Définition 11.2

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b] aveca < b.

On appelle valeur moyenne de la fonction f sur[a;b] le réel 1 b−a

! b a

f(x)dx.

Exemple 11.2

En reprenant la fonction de l’exemple 11.1, la valeur moyenne de la fonctionf entre 2 et 5 est : 1

5−2

! 5 2

f(x)dx= 1 3× 9

2 = 3 2 Propriété 11.2 (admise)

Sif est une fonction continue sur un intervalle[a;b]aveca < b, alors il existe un réelc∈[a; b]

tel que f(c) est égal à la valeur moyenne de la fonction sur[a; b]; c’est-à-dire tel que : (b−a)f(c) =

! b a

f(x)dx Remarque 11.1

Cette propriété signifie qu’il existe un réel c∈ [a;b] tel que l’aire sous la courbe entre a et b est égale à l’aire du rectangle de largeur b−a et de hauteur f(c).

!i

!j

Cf

a c b

f(c)

Sur la figure ci-dessus, l’aire coloriée en bleu et l’aire hachurée en rouge sont égales.

(3)

11.4 Propriétés de l’intégrale 73

11.4 Propriétés de l’intégrale

Théorème 11.1 (linéarité)

Soitf etg deux fonctions continues sur un intervalle[a; b]et soitλ un réel quelconque. Alors :

! b a

(f +g)(x)dx=

! b a

f(x)dx+

! b a

g(x)dx

! b a

(λf)(x)dx=λ

! b a

f(x)dx

Remarque 11.2

Si f est une fonction continue sur [a; b] etnégative sur cet intervalle, alors la fonction −f est aussi continue sur [a;b] mais positive sur cet intervalle. On a donc :

! b a

f(x)dx=−

! b

a −f(x)dx=−A

Ainsi l’intégrale de a à b d’une fonction négative est donc l’opposé de l’aire délimitée par Cf, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a etx=b.

!i

!j

Cf

a b

−"b

af(x)dx 1 u.a.

Théorème 11.2 (positivité)

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b].

– Si f est positive sur [a; b], alors "b

af(x)dx≥0.

– Si f est négative sur [a; b], alors"b

a f(x)dx≤0.

Théorème 11.3 (ordre)

Soit f etg deux fonctions continues sur un intervalle[a; b]telles que pour tout x∈[a; b] on a f(x)≤g(x). Alors :

! b a

f(x)dx≤

! b a

g(x)dx

(4)

74 Calcul intégral

!i

!j

Cg

Cf

a b

Sur la figure ci-dessus, pourx∈[a; b] on af(x)≤g(x). L’aire hachurée en rouge (intégrale de f entre a etb) est inférieure à l’aire coloriée en bleu (intégrale de g entrea etb).

Propriété 11.3 (relation de Chasles)

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b] et soitc∈[a; b]. Alors :

! b a

f(x)dx=

! c a

f(x)dx+

! b c

f(x)dx

!i

!j

a c b

Cf

"c

a f(x)dx "b c f(x)dx

Propriété 11.4 (Aire entre deux courbes)

Soit f etg deux fonctions continues sur un intervalle[a; b]telles que pour tout x∈[a; b] on a f(x)≤(x). Alors, la surface délimitée par les courbesCf etCg ainsi que les droites d’équations x=a etx=b vaut :

A =

! b a

(g(x)−f(x))dx

!i

!j

Cg

Cf

a b

Cf

A

A ="b

a(g(x)−f(x))dx

1 u.a.