Valeur moyenne d’une grandeur périodique

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Paul Landercy © Laboratoire d’Electrotechnique Cahier Thématique N°3 – V 1.0 - 2014

Le courant alternatif

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Introduction

La tension délivrée par le secteur n’est pas une tension continue. Sa valeur varie au cours du temps. Les centrales électriques utilisent des alternateurs fournissant une tension variant périodiquement au cours du temps et d’allure sinusoïdale.

Grandeurs électriques variables

Grandeurs variables Définition

Tension ou courant unidirectionnel Grandeur toujours positive ou toujours négative

Tension ou courant bidirectionnel Grandeur qui oscille entre des valeurs positives et négatives

Tension ou courant périodique Grandeur qui se reproduit identique à elle-même à intervalle de temps régulier Tension ou courant sinusoïdal Grandeur périodique qui évolue en

fonction du temps comme une sinusoïde Exemple : Qualifier chacune des grandeurs ci-dessous

 Unidirectionnel

 Bidirectionnel

 Sinusoïdal

 Périodique

 Unidirectionnel

 Bidirectionnel

 Sinusoïdal

 Périodique

 Unidirectionnel

 Bidirectionnel

 Sinusoïdal

 Périodique

 Unidirectionnel

 Bidirectionnel

 Sinusoïdal

 Périodique

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2

Période

La période d’une grandeur périodique est la durée constante T, exprimée en

seconde, qui sépare deux instants consécutifs, où la grandeur se répète identique à elle-même.

Exemple :

Sachant que la base de temps de l’oscilloscope est de 0,5 ms/div. (un carré mesuré horizontalement vaut 0,5 ms). Déterminez les périodes ?

Voie 1 : T1 = ...

Voie 2 : T2 = ...

Fréquence

La fréquence d’une grandeur périodique, exprimée en Hertz [Hz], est égale au nombre de périodes par seconde.

En une seconde, si l’on observe f périodes de durée T, alors f x T = 1, ce qui entraîne :

Exemple :

Calculez les fréquences correspondant aux périodes calculées précédemment ?

Voie 1 : f1 = ... Voie 2 : f2 = ...

Un signal à une période T = 2,5 ms, que vaut la fréquence ? f = ...

Une tension à une fréquence de 16Hz 2/3, que vaut la période ? T = ...

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Valeur moyenne d’une grandeur périodique

Approche intuitive :

Une voiture roule à 120 km/h pendant une heure, l’automobiliste s’arrête une heure pour déjeuner et roule encore une heure à 30 km/h. Calculer la vitesse moyenne du véhicule ? On calcule la distance parcourue que l’on divise par le temps total de parcours :

Vmoyenne = (120 km/h x 1 h + 0 km/h x 1 h + 30 km/h X 1h) / 3 h = 50 km/h Ce qui se traduit par le graphe suivant :

Le trait bleu correspond à l’évolution de la vitesse au cours du temps et le trait rouge à la vitesse moyenne du véhicule.

On voit distinctement que la vitesse moyenne de 50 km/h est le résultat de la division de la surface totale comprise entre la courbe et les axes divisée par le temps. Cette constatation nous amène à la définition de la valeur moyenne.

Définition :

La valeur moyenne d’une grandeur de période T est :

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4 Où S est la surface comprise entre la courbe U(t) et l’axe des temps pendant la durée de période T.

Exemples :

Calculer la valeur moyenne de cette grandeur périodique (la surface S1 est comptée positivement et la surface S2 est compté négativement, car la tension est négative).

Umoy = ...

Calculez pour ces 2 ondes les valeurs moyennes correspondantes

Umoy = ... Umoy = ...

Une tension ou un courant bidirectionnel est dit alternatif si sa valeur moyenne est nulle. La valeur moyenne de la tension ou du courant du secteur est nulle.

Interprétation de la valeur moyenne de l’intensité d’un courant

Le courant variable i(t) transporte pendant une période T, la même quantité d’électricité que le courant constant de valeur <I> tel que Q = <I> x t.

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Exercice

Calculer les valeurs moyennes des deux ondes suivantes :

U1moy = ... U2moy = ...

Décomposition d’une tension ou d’un courant périodique

Une tension périodique peut être considérée comme étant à chaque instant la somme de deux tensions.

1. Une tension constante, appelée composante continue,

2. Une tension alternative (Umoy = 0) appelée composante alternative

U(t)= <U> + U

alt

(t)

La valeur moyenne de la tension périodique est égale à la composante continue et est mesurée par un voltmètre numérique en position DC

Exemple :

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Principaux groupes de gabarits de tension.

Groupes Remarques Exemples de gabarits

Valeur efficace d’une grandeur périodique

Approche intuitive :

Le courant moyen calculé sur un courant périodique variable est un courant constant qui transporte au cours du temps la même quantité d’électricité que le courant périodique variable.

Lorsque ce courant périodique est alternatif, sa valeur moyenne est nulle, cela signifie t’il qu’il n’a aucune action ?

L’expérience nous prouve le contraire car une résistance soumise à un courant alternatif s’échauffera bien que le bilan total des charges la traversant est nul.

Il nous faut donc comparer cet effet Joule à celui produit dans la même résistance par un courant continu.

Si deux tensions, l’une continue constante et l’autre alternative, ont les mêmes effets, une résistance chauffera autant avec l'une qu'avec l'autre par effet Joule, et absorbera en moyenne autant d'énergie dans les deux cas. On calcule donc l'énergie absorbée sur une période T pour les deux systèmes.

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7 Expérience :

On alimente R1 avec un courant continu constant Idc de 1 A et on augmente progressivement la tension Vac de manière à admettre un courant Iac dans R2 provoquant le même échauffement et donc la même température que dans la résistance R1. A ce moment, les effets Joule des deux courants sont identiques et le courant Iac à la même efficacité thermique que le courant continu Idc

Bilan énergétique par période On prend la tension continue au carré

E = P . T = U²/R . T

Bilan énergétique par période On prend la moyenne de la tension

instantanée au carré E = P . T = <u(t)²> / R . T En égalant les énergies,

on a : U² = < u(t)²>

Définition :

La valeur efficace Ueff d’une grandeur est égale à la racine carrée de la valeur moyenne de cette grandeur au carré.

( )

2

U

eff

  u t 

La valeur efficace est toujours positive.

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8 Reprenons l’exemple précédent et calculons la valeur efficace :

1 2

eff

S S

U T

 

 = 16.2,5 4.2,5

10 3,16

5 V

 

Interprétation de la valeur efficace de l’intensité d’un courant

La valeur efficace d’un courant notée Ieff est celle qui correspond à la valeur d’un courant continu imaginaire produisant un échauffement identique dans une même résistance.

Génération d’une tension sinusoïdale

Une spire rectangulaire tourne à vitesse constante dans un champ uniforme. Son axe AA’ est perpendiculaire aux lignes de champ. La surface de la spire projetée sur le plan des masses polaires est une fonction du sinus de l’angle . Lorsque le plan de la spire sera parallèle aux lignes de champ, le flux embrassé par elle sera nul. Le flux embrassé par la spire sera maximum lorsque l’angle .vaudra π/2.

Le flux Φ sera sinusoïdal ainsi que la différence de potentiel aux bornes de la spire (loi de Faraday). C’est le principe élémentaire d’un alternateur fournissant la tension secteur 230 V.

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9 L’angle  variera constamment et la vitesse à laquelle il sera balayé s’appelle la vitesse angulaire notée ω.

Pour les grandeurs électriques cette vitesse angulaire s’appelle pulsation et elle vaut :

2 2 f T

    

Avec pour unités : [ ω ] =rad/s

Valeurs remarquables d’une grandeur sinusoïdale

Valeur de crête

C’est la valeur maximum atteinte par la grandeur sinusoïdale. Elle est positive à T/4 et négative à 3T/4.

Elle se note souvent

Î

Valeur efficace

Elle est définie par rapport à la valeur de crête et vaut :



^ eff

I

2

I

Valeur moyenne

Elle est nulle car c’est une grandeur périodique alternative. En effet, la surface de

l’alternance positive égale celle de l’alternance négative, la somme de ces deux surfaces est donc nulle, la valeur moyenne aussi.

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Les vecteurs de Fresnel - Rappel

La représentation temporelle d’une sinusoïde n’est pas facile et se prête assez mal à l’analyse des circuits. Fresnel a trouvé une solution élégante à ce problème en utilisant une

représentation utilisant les vecteurs.

Il associe à une sinusoïde, un vecteur tournant placé au centre d’un cercle trigonométrique.

Ce vecteur a les caractéristiques suivantes :

o Rotation du vecteur dans le sens trigonométrique

o Une grandeur 0M correspondant à la valeur crête de la sinusoïde

o Une grandeur 0m correspondant à la valeur instantanée de la sinusoïde à chaque instant t ou angle Θ (om = OM sin(Θ))

o Une vitesse de rotation correspondant à la pulsation ω de la sinusoïde (ce qui signifie que le vecteur parcoure 1 tour ou un angle de 2π radians en un temps équivalent à la période T de la sinusoïde.

o Une origine des temps ou des angles sur l’axe 0X. L’angle Θ représente un décalage de temps ou d’angle par rapport à l’axe 0X.

Cette représentation nous permettra d’analyser plusieurs sinusoïdes de même fréquence, déphasées ou non entre-elles car elles seront représentées par des vecteurs sur lesquels s’appliquent les règles du calcul vectoriel.

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Le décalage de phase ou déphasage

En pratique deux grandeurs sinusoïdales sont rarement en phase, ici deux tensions de même fréquence sont décalées dans le temps d’un angle constant φ appelé différence de phase ou déphasage.

Il devient évident que la somme de ces deux tensions alternatives U1 et U2 ne peuvent pas se faire par une simple addition, il s’agira d’effectuer ce qu’on appelle une addition vectorielle.

Exemple :

En se basant sur la figure précédente et les valeurs suivantes Tension u1(t) : Ucrète : 300 V

Tension u2(t) : Ucrête : 200 V

Déphasage entre u2(t) et u1(t) : 90°

Calculons la somme de ces deux tensions :

On voit sur la figure suivante que l’addition vectorielle se résume à calculer l’hypoténuse d’un triangle rectangle par la loi de Pythagore, on a donc :

  ²  ²  ²  ² 

1 2 1 2 (300) (200) 361

U U U V

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12

Déphasages particuliers

Déphasage nul (φ=0) Les grandeurs sont en phase

Déphasage de 180°(φ=T/2) Les grandeurs sont en opposition de phase

Déphasage de 90° (φ=T/4)

Les grandeurs sont en quadrature de phase

Remarque : le déphasage est une grandeur algébrique :

 ^i/u = -  ^u/i

Pour la dernière figure :

 ^u/i

⁼⁺

90°:

U est en quadrature en avance sur I.

Exemple :

Valeur moyenne d’une grandeur périodique

Introduction

Grandeurs électriques variables

Période

Fréquence

Valeur moyenne d’une grandeur périodique

Interprétation de la valeur moyenne de l’intensité d’un courant

Exercice

Décomposition d’une tension ou d’un courant périodique

U(t)= <U> + U

(t)

Principaux groupes de gabarits de tension.

Valeur efficace d’une grandeur périodique

( )

U

  u t 

Interprétation de la valeur efficace de l’intensité d’un courant

Génération d’une tension sinusoïdale

2 2 f T

    

Valeurs remarquables d’une grandeur sinusoïdale

Î

I

I

Les vecteurs de Fresnel - Rappel

Le décalage de phase ou déphasage

U U U V

Déphasages particuliers

 i/u = -  u/i

 u/i

90°:

 ^i/u = -  ^u/i

 ^u/i