Détermination de la valeur la plus probable des grandeurs statistiques. II. La vie moyenne des éléments radioactifs

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Détermination de la valeur la plus probable des

grandeurs statistiques. II. La vie moyenne des éléments

radioactifs

Georges Allard

To cite this version:

Les

_intégrales

de la forme

se

_développent

alors sous les formes

Si G n’est _pas

nul,

il est bien la

_partie

_principale

de ce

_{développement.}

Mais si G est

_nul,

c’est la

première intégrale

non nulle suivante

_qui

fournit

cette

_partie

_principale.

Ces considérations conduisent aux

règles

de

sélection dont l’étude sera

_l’objet

du troisième article. Manuscrit reçu le 18 août i94’7.

DÉTERMINATION

DE LA VALEUR LA PLUS PROBABLE DES GRANDEURS

STATISTIQUES

II. LA VIE MOYENNE DES

ÉLÉMENTS

RADIOACTIFS

Par GEORGES ALLARD.

Sommaire. 2014

Application des résultats _généraux obtenus dans un travail précédent à la détermi-nation des vies moyennes des éléments radioactifs au _{moyen d’expériences} faites avec des _compteurs. On examine successivement le cas des substances à vie moyenne courte, avec et sans mouvement propre du compteur, puis des substances à vie moyenne plus grande. On _indique, en _particulier, ce résultat _{d’aspect paradoxal qu’on} ne _{peut pas} déduire la _{précision d’expériences} faites avec un

compteur sans mouvement _propre en annulant celui-ci dans les expressions générales obtenues en

admettant un _{mouvement propre; cela provient} de ce _{que, dans} ce _{cas, le mouvement propre n’est pas}

sûrement nul, mais seulement _{qu’il apparaît expérimentalement} comme étant nul, les deux cas ne

devant se raccorder que lorsque la durée des expériences est _infinie, ce _que vérifient les formules obtenues.

Dans un

_précédent

travail

_(1),

nous avons montré

comment on

_peut

déterminer la valeur la

_plus

probable

des

_{grandeurs statistiques}

et la

_précision

de cette valeur. Nous allons

_appliquer

ces résultats

à un

_problème,

traité par Peierls

_(2),

celui de la

détermination

de la vie _moyenne des substances radioactives étudiées au _{moyen de}

_compteurs.

Les notations seront celles de notre

_précédent

mémoire,

les formules de celui-ci étant

_rappelées

par le chiffre romain I

précédant

leur numéro. La variable x est ici le

_{temps t,}

les nombres rtu étant

les nombres de

_{particules enregistrées}

_par le

_compteur

dans l’intervalle de

_temps

tv - tV-1.

Nous _{supposerons d’abord} la source radioactive

constituée _par une substance

unique

de constante

radioactive et de vie moyenne T

== ~.

La loi des

désintégrations

radioactives donne

et nous

écrivons,

d’après (1, 3)

(1) G. ALLARU, J. de _{Physique, jui’let 1048,9,} p. 2I 2-2 ~ l~.

(3) PEJERLS, Proc. Rog. Soc., London, Série A, avril _1935,

n° _868, vol. 149, p. l~fi~-486.

ou

T étant la durée totale de

_{l’expérience}

et

_t,

= _o.

La résolution de cette

_équation

sera facile si l’on

suppose les observations

équidistantes,

c’est-à-dire si l’on fait

ou

car alors

₍₁₎

s’écrit

ou, en

_posant

grandeur expérimentale,

’

Pour calculer l’erreur

_{quadratique moyenne.,}

nous

.

calculerons

_d’après

_(1,5)

Les sommations doivent se faire entre v == _i et v .--- k , T

où k - fi. On a alors

et l’erreur

_quadratique

_moyenne sur A sera

donnée _par

Pour _{que ?{A2 soit le}

_plus

_{petit possible,}

il faut que A soit minimum. Nous pouvons nous _proposer

de chercher la valeur de 0 pour qu’il en soit ainsi.

62 elle , ,

Il faudra que

_{(e}e_I)2 soit}

maximum.

_Or,

l’on a,

(e ,

- I)?

pour la dérivée de cette

fonction,

On voit facilement que le crochet ne s’annule que pour À6 = _o. Pour savoir si c’est _un

maximum,

développons

ce crochet

_jusqu’au

3e ordre eu 0 et

l’on trouve _{pour la dérivée}

- 6

8;

elle est

_négative

69 AO

et

e

décroît au

_voisinage

de 0 = o,

qui

e7,_

correspond

donc bien à un maximum. Il faudra

donc choisir un intervalle de

_temps

0 infiniment

petit

pour avoir la meilleure

précision.

Les

nombres

nv seront alors zéro ou i et

les

seront les instants

précis d’enregistrement

d’une

_particule.

Dans ces

_conditions,

₍₂₎

et

₍₃₎

deviennent

Ce sont, aux notations

_près,

les formules données

par Peierls.

En

effet,

comme

m = M (1: - e-¡.1),

on vérifie

que

(3 bis)

s’écrit

₍₃₎

(3, Il y a, dans le mémoire de Peierls, une faute d’impression,

la quantité 7 devant être _définie, dans ses _notations, par et

Généralisation. - Nous allons maintenant supposer que la source radioactive

_comprend

un

nombre

_quelconque

de

_produits

de constantes

radio-t" t d .

1. Illii M’

actives ,i

et de

_proportions

relatives M étant la somme des Mi. Nous avons alors

d’où

Les

_équations

_générales

_{(I 3)}

donnent alors

ou

et

Les

_équations

₍₄₎

ne sont _pas

_{indépendantes}

car en les sommant

_après

_{multiplication}

_par

_Mi,

on obtient une identité. L’ensemble de

₍₄₎

et

₍₅₎

déter-mine donc

seulement

et les

20133

_qui

sont reliés par

Mais,

en

général,

la résolution

d’un tel

système

est extrêmement

pénible;

notons,

en

outre,

que pour déterminer les

Mi,

nous

dispo-sons aussi de

Supposons,

comme

_{précédemment,}

que t,,= v8;

264

ces

dernières

_devenant,

_{d’après (6)}

Multipliant (7 bis}

par

1

et sommant, on obtient

par 1

qui

peut

remplacer

l’une

_quelconque

des

équa-tions

_{(7 bis).}

Cas

_particulier.

--- Pour traiter le

problème

plus

complètement,

nous allons admettre que tous

les

A,

sauf un sont très

_petits

vis-à-vis de

_~.

C’est dire _{que les} substances

_{correspondantes}

ont une vie

moyenne très

_grande

_par

_rapport

à la durée de

l’expérience.

Nous

_désignerons

dans la suite

_{par 1}

la constante

_{qui n’est pas très}

_petite,

si _{bien que}

tous

les )ti

seront très

_petits,

et _par

_{Mo le}

Mi

corres-pondant

à ~. _{Les corps}

_{ayant un l’i}

très

_petit

seront

responsables

du mouvement propre du

_compteur

et nous _poserons

On voit facilement que oc

_représente

le nombre de

particules

ne

_{provenant pas du corps de}

constante

qui

pénètrent par

seconde dans le

_compteur.

En

_développant

les

_{exponentielles}

contenant 2.;

et en ne _{conservant que les termes du premier} ordre

en

~~,

les

_{équations précédentes}

se réduisent aux

suivantes :

L’équation (13)

est une

_conséquence

de

₍₁₁₎

et

_(12),

_{alors que}

₍₉₎

et

₍₁₀₎

sont

_{équivalentes.}

Il ne reste donc que trois

équations indépendantes.

Nous

_{pourrons choisir (10), (12)}

et

_(13);

or, on voit

facilement

_{qu’il n’y}

a, dans ces trois

_équations,

que deux

inconnues,

. et

a ;

deux des

équations

0 o

suffisent

donc,

la troisième servira à _{vérifier que les}

hypothèses

faites sont correctes; nous chercherons

à résoudre

₍₁₀₎

et

_(13),

réservant

₍₁₂₎

_{pour la} vérification.

Notons,

de

_{plus, qu’on}

devra avoir

également

qui

pourra alors donner

séparément

oc et

connais-sant et

- ’

mû

Par

_analogie

avec le cas où il

_n’y

a

_pas

de mou-vement _{propre du}

_compteur,

_posons

La connaissance de s

_permettrait

le calcul de j..

D’après (15),

et

₍₁₃₎

s’écrit

( 10)

s’écrit

On pourra alors résoudre de la

_façon

suivante. Une

_expérience

à blanc donne une valeur très

approchée

«o de a;

reportant

dans

_(16),

on obtient

une

_{valeur so}

de s

_qui,

_par

_(15),

donne ~ et,

par

(14) Mo,

donc 1110

On

calculera,

avec ces valeurs

a

de À et le

_premier

membre de

_{(17) qui}

devra

donner,

pour oc, une valeur très voisine de ao, avec

laquelle

on _pourra recommencer les mêmes calculs. On devra ensuite vérifier

₍₁₂₎

sous la forme

Par

_analogie

avec ce

_qui

se _passe en l’absence de

meilleure

_{approximation}

aura lieu

_{quand 0}

sera

infiniment

_{petit, auquel}

cas les n, sont zéro ou i

et les t,, les instants

_précis

où une

_’particule

entre

dans le

_compteur.

Les

_équations

à

_employer

sont

alors .

Il est

_remarquable

_{que l’équation (16 bis)} est celle

qu’utilise

Peierls dans sa « méthode

approximative

»

et les

_{équations (17 bis)}

et

_{(18 bis)}

celles

_qu’il

donne dans sa « méthode

rigoureuse

» sans d’ailleurs

_qu’il

établisse de lien entre ces deux méthodes. Nous voyons

qu’elles

sont aussi

rigoureuses

l’une que l’autre et

_qu’il

est

_{nécessaire qu’elles}

donnent le même résultat pour qu’ôn puisse en _{conclure que}

les

_hypothèses

faites sont correctes.

Calcul

de , l’erreur

_quadratique

moyenne.

-Pour

_{l’application}

de

_{(1, 5),}

il nous faut les déri-vées dérivées _que nous avons

_déjà

calculées

ai

dans le cas

_général.

Nous allons les retranscrire avec nos nouvelles notations en

_négligeant

les termes en

~~. Mais,

_pour ne _{pas avoir de} déterminants

automatiquement

nuls,

nous devons remarquer

que

.Mo

est une fonction des

Mi

_puisque

Nous aurons alors seulement les dérivées suivantes :

On a

alors,

_{d’après (15),}

Comme

on

_peut

écrire successivement

Des transformations

analogues

permettront

de

simplifier

les autres dérivées secondes et l’on abou-tira à

avec

Nous devrions

_reporter

ces valeurs dans

_{(1, 4),}

mais cela nous

_obligerait

à calculer des déterminants

compliqués;

nous aurons

_plus

aisément le résultat

en récrivant les

_équations

dont

_{(1, 4)}

est la solution.

Et

_même,

comme la seule

_grandeur

qui

nous

con-tiennent,

soit

On voit facilement

qu’elles

se réduisent à deux

d’où l’on tire

Le

_problème

se réduit

donc,

en

_principe,

au’ calcul

des

_grandeurs

A, B,

C définies par (19), (20) et

_(21).

Ce calcul est très

_{simplifié quand}

on _{suppose que}

l’intervalle

tv-tv-1

= dt infiniment

petit,

car alors les sommes se transforment en

_intégrales

Nous poserons

et _supposerons oc assez

_{petit pour que}

_lui- soit

_positif.

On calcule alors

On a

_posé

on a

et

_lorsque

Remarque.

-- Il

est intéressant de chercher la valeur de ~~~2

_lorsque

l’on fait oc - o. Dans le cas

où l’on ne considère

_qu’une

seule substance

radio-active,

sans _{mouvement propre du compteur,} nous avons

trouvé,

en

effet,

avec

Or,

si l’on fait oc = _o dans les formules

précédentes

et

_{qu’on exprime}

toutes les

_grandeurs

en fonction de

T, ~

et s,

on trouve

c’est-à-dire la valeur

_précédente

_{multipliée par}

un

facteur

_supérieur

à

l’unité,

puisque a

est

nécessai-rement inférieur à i. C’est un résultat

_qui

semble

paradoxal

et sur

_lequel

il _y a lieu d’insister.

_Lorsque

l’ n traite le

_problème

avec un seul corps, on écrit

par cela même que le mouvement _propre est

sûre-ment nul et il en résulte une certaine erreur

_G’i,2;

et

_qu’on

ne l’annule

_qu’en

fin de

calcul,

on écrit que le mouvement propre

apparaît

expérimenta-lement

nul,

mais cela n’est vrai

qu’à

une certaine

approximation,

due à ce _{que la durée des}

_expériences

n’est _{pas infinie} et cette

_{approximation}

se retrouve dans une

_augmentation

de l’erreur àl.2. Si d’ailleurs

on fait croître T

indéfiniment,

7 tend vers i et les

deux résultats se

_rejoignent

en donnant 0),2==

~.

·

L’incertitude sur la valeur nulle de oc est devenue

certitude.

Cas d’une substance de

_grande

vie moyenne.

- Tout _ce

qui précède

est directement utilisable dans le cas où 1. est tel

_{que 1,}

T soit assez

_grand

pour des valeurs de T matériellement

possibles.

Si la durée T devait être de l’ordre du _{mois par}

exemple,

il serait

_{pratiquement impossible}

de noter toutes les arrivées de

_particules;

_et,

d’autre

_part,

les substances

_{perturbatrices, ’origines}

du

mou-vement _propre,

_peuvent

varier,

et aussi l’efficacité propre du

compteur.

On est alors conduit à ne

faire fonctionner le

_compteur

_que

_pendant

des inter-valles de

_{temps déterminés,}

_{par exemple} un certain

temps

tous les

_jours.

Nous tiendrons

_compte

de

toutes ces circonstances en

introduisant

des «

fac-teurs d’efficacité »

mi (t),

c’est-à-dire en

_prenant

comme loi de

_probabilité

Les formules

₍₄₎

et

₍₅₎

subsisteront,

mais sous la

forme

Pendant les intervalles de

_temps

où le

_compteur

ne fonctionne pas, on fera mi = o et, _par

conséquent,

on

_supprimera

les termes

_{correspondants}

dans les sommations. Admettons

alors,

avec une

_légère

modification de

notations,

que les mesures se fassent

dans les intervalles

les

0,

étant assez

_petits

_{pour que tous} les

pro-duits

_{a,i 0,,,}

_y

_compris

celui

_{qui correspond}

à la substance

étudiée,

soient

_{négligeables}

devant

l’unité,

c’est-à-dire que

Les

_équations

deviendront

Cette dernière

_peut

s’écrire,

en tenant

_compte

de la

précédente,

Passons en.fin au cas où toutes les sources,

sau f

une, sont _{telles que} les

IIi Iv

sont

_{négligeables}

devant l’unité. Avec les mêmes conventions que celles

_qui

nous ont servi

_{précédemment,}

nous aurons

Étant

donné

_{l’impossibilité}

de tenir

_compte

indi-viduellement de toutes les

_{équations (25),}

nous les

remplacerons par celles que l’on

obtient en

multi-pliant par

M;),;

et

_sommant,

soit

avec

d’où

On voit facilement _{que la}

_première

des

_équations

₍₂₆₎

implique

la

_première

de

_(24).

La deuxième du

peut

aussi s’écrire

Le

_problème

consiste donc à résoudre les

équa-tions

₍₂₆₎

et

₍₂₉₎

en tenant

_compte

de

_(28);

ce n’est

évidemment

_{possible que si l’on connaît}

et «.,.

Nous

_allons

voir bientôt comment on

_peut

les évaluer

approximativement;

mais si les mesures sont faites

dans des conditions

_acceptables,

ces

_grandeurs

doivent varier assez _{peu pour que l’on}

_puisse,

en

_{première approximation,}

les considérer comme

constantes. Comme on a aussi m ~

Mw,

l’équa-tion

₍₂₉₎

s’écrit

et l’on a

Si tous les

_0,,

durées des différentes mesures, sont

égaux,

et si

les tv

sont

_{équidistants : tv}

- _{~~ ~, on}

peut

calculer les sommes

_{qui figurent}

dans le second

membre,

ce

_qui

donne

où T est la durée totale de

_{l’expérimentation,}

c’est-à-dire

_kr,

si l’on fait

les k + I

observations

aux

_temps

_{o, T,} 2 Z, ..., k z.

On tire de là

’

Si des

_expériences

à blanc ont donné cx, au moins

approximativement,

la

_première

_expression

_permet

le calcul

_{de (}

et

₍₃₂₎

_permet

de déterminer 1,f il suffira de dresser à l’avance un tableau à double

entrée donnant les valeur

_{de 2~ == ~}

en fonction

et de s’en _{servir pour déterminer x connaissant y} et z.

₍₃₁₎

donnera alors et

₍₂₈₎

_permettra

de calculer w; et t~. Il conviendra alors de vérifier

que (26),

qui

s’écrivent

donnent

bien,

pour m, des valeurs voisines de la

valeur

_{expérimentale.}

-Calcul

_plus

exact. -

Nous devons maintenant

nous

_préoccuper

de résoudre

₍₂₉₎

_lorsqu’on

ne

suppose

plus 3?(~)

et av constants.

Supposant

toujours

les

0,,

indépendants

de v,

et m et oc étant des valeurs moyennes de et a,,, on

_peut

écrire

et l’on résoudra _par

_{approximations}

successives. La

_{première approximation}

consistera à

et oc, = oc. On est alors ramené au

_problème

précé-dent.

_Ayant

une

_première

valeur de 1. et

on substituera dans le terme

_négligé,

ce

_qui

ramè-nera encore au

_{problème précédent}

avec une valeur

corrigée

_dey

n,, t,, et de m. Si besoin est, on

recom-’J

mencera le même processus avec la nouvelle valeur de a, et de

Mais il faut

connaître,

au moins

approximati-vement, m (tv)

et oc,. Pour

cela,

aux mêmes

instants i,,

que dans la mesure directe

_(ou

au

moins

tout de

suite

_après),

on fera des mesures, de durée

0,

et

_0,

respectivement

en

_éloignant

la source

étudiée,

_puis

en la

remplaçant

par un _{étalon de vie moyenne}

extrêmement

grande.

Si et n,, sont les indi-cations du

_compteur,

on _{pourra écrire}

où

Mo

et sont

_{caractéristiques}

de l’étalon. On aura

Comme valeurs moyennes « et _v, nous choisirons

d’où

et

La valeur « donnée par (34)

_permet

de trouver la

première approximation

de

₍₃₃₎

avec la valeur

approximative

de J. et de

₍₃₅₎

et

₍₃₆₎

don-nant alors oc, et on _{pourra obtenir la}

deuxième

approximation

et ainsi de suite.

Approximation

plus grossière

et erreur

qua-dratique moyenne. - Admettons que

),7; soit assez

petit

pour

pouvoir

développer

(30)~ (31)

et

(32)

en

_posant

el:’;

=

I + 1.z.

On _aura

Ce sont les

_{équations (14),}

_{(15 bis)}

et

_{(16 bis)}

dans

lesquelles

on a

_remplacé

_{par ~}

m

par

m

v v

et

_Mo

_par On

_pourrait

donc obtenir une solu-tion

_{approximative}

en utilisant les formules données dans le cas où la source est à _{vie moyenne} assez

brève. Mais cette _remarque nous sera surtout utile

pour calculer l’erreur

quadratique moyenne,

car là des valeurs

_{approximatives}

sont suffisantes. Il n’est

donc pas nécessaire de refaire un calcul

_complet;

on

pourra simplement utiliser

_{(22), (19 ter), (20 ter)}

et

(21 ter)

à la condition de

_{remplacer Mo}

_{par Mow,}

m et de

_multiplier

les

_intégrales

_figurant

dans

_{(t9 bis), (20 bis)}

et

_{(21 bis)}

par

·

Manuscrit reçu le 28 juillet 1947.

SUR L’ESTIMATION RAPIDE

DES

ÉNERGIES D’ÉLECTRONS

DE VITESSES MOYENNES ET FAIBLES

Par TSIEN

_SAN-TSIANG,

C. MARTY et B. DREYFUS. Laboratoire de Chimie _Nucléaire,

Collège

de France

_(Paris).

Sommaire. 2014 On définit la portée comme étant la distance joignant l’origine à l’extrémité d’une

trajectoire électronique. On a établi _{expérimentalement que} la _portée moyenne est, pour des négatons d’énergie inférieure à 50 keV, dans un _rapport constant avec _{le parcours moyen. Cette relation permet}

d’estimer _{rapidement l’énergie} d’électrons monocinétiques. En _appendice, on donne aussi la relation entre le parcours moyen des électrons et leur _{énergie (comprise} entre 1 à _{100 keV)} et le rapport entre le parcours moyen vrai et sa _projection horizontale.

Introduction. - La théorie

quantique

du ralen-tissement des

_{particules chargées dans}

la matière

(Bethe [1])

permet

de calculer

_{théoriquement}

pour

des électrons la

_perte

_{d’énergie cinétique pour}

urie

unité de

_longueur.

En choisissant convenablement le

potentiels

moyen

d’excitation,

terme difficilement calculable intervenant dans la théorie

_{précédente,}

l’un de nous

_[2]

a _{pu établir} une relation entre le parcours moyen et

_l’énergie

initiale des

électrons,

relation

_qui

est en bon accord avec

_{l’expérience}

(mesures

à la chambre de Wilson _{de parcours moyens} d’électrons

d’énergie comprise

entre i et 5o

_keV).

La relation obtenue est très utile dans l’étude des

rayonnements

électromagnétiques

de faible

énergie

comme on en rencontre souvent en

physique

nucléaire. Pour ces

_photons,

les méthodes de détec-tion par

compteurs

ou par chambres d’ionisation

ne sont

_plus

assez sensibles

_lorsque

les faisceaux

sont de faible intensité. En

revanche,

on

_peut